§ 2. Интегрирование рациональных дробей

1. Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х) — многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р (х) ниже степени многочлена Q (х); в про­тивном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби сле­дующего вида:

I. ;

II. , где т — целое число, большее единицы;

III. , где <0 т. е. квадратный трехчлен x² + px+q не имеет действительных корней;

IV. , где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен х²+рх+q не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, a — действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем

I.

II.

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа полу­чаем

^ИЛИ

где (здесь <0), откуда

1403. Найти интеграл

Решение.

Имеем

▲

1404. Найти интеграл

Решение.

Имеем

Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.

Требуется найти , < 0. Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

Тогда

В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому так как x²+рх+q>0 для любого значения х. Второй интеграл, как уже было отмечено, находится по формуле

Итак,

1405. Найти интеграл

Решение.

Имеем

▲

1406. Найти интеграл

Решение.

Имеем

▲

1407. Найти интеграл

Решение.

Предварительно в этом интеграле произведем замену перемен­ной х²=t, тогда 2xdx = dt, xdx=(l/2)dt. Следовательно,

▲

Рассмотрим теперь частный случай интеграла от простейшей дроби IV типа. Для интеграла (n— целое положительное число) имеет место следующая рекуррентная формула:

Эта формула позволяет после (n - 1)-кратного применения свести данный

интеграл I_n к табличному интегралу

1408. Найти интеграл

Решение.

Здесь п = 3. После первого применения рекуррентной формулы получаем

К интегралу снова применяем рекуррентную формулу (здесь полагаем n = 2):

Итак,

Окончательно имеем

▲

____________

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа. Требуется найти <0.

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в зна­менателе:

Первый интеграл в правой части равенства легко находится при помощи подстановки , а второй преобразуем так:

Полагая теперь , dx = dt и обозначая , получаем

Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено при помощи рекуррентной формулы.

1409. Найти интеграл

Решение.

Имеем

В первом интеграле произведем замену , а во втором интеграле положим Отсюда

Возвращаясь к старой переменной, получаем

▲

Найти интегралы:

1410. 1411. 1412.

1413. 1414. 1415.

1416. 1417. 1418.

2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения иа простей­шие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби Р (x)/Q (x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде

где М (х) — многочлен, а P₁(x)/Q (x)—правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где <0, т. е. трехчлен x²+px+q имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби

4) вычислить неопределенные коэффициенты A₁, А₂, ..., А_т, ... , B₁, C₁, B₂, С₂, ..., В_n,С_n,..., для чего принести последнее равенство к общему знамена­телю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относи­тельно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим спо­собом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффи­циентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

С л у ч а й 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.