27. Линейный оператор с клеточно-диагональной матрицей

Жордановой матрицей назовём клеточно-диагональную матрицу J, на диагонали которой стоят клетки Жордана:

Минимальный полином клетки совпадает с ее характеристическим полиномом, и равен

28. Характеристический многочлен

Пусть A – квадратная действительная матрица n-го порядка. Матрицу

с переменной называют характерической матрицей матрицы А. Ее определитель представляет собой многочлен от переменной степени n. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А.

Теорема 28.1. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Д-во.

Если матрицы А и В подобные, то дня некоторой невырожденной матрицы Q выполняется равенство . Следовательно

Теорема 28.2. Всякая квадратная матрица является корнем некоторого ненулевого многочлена

29. Собственные вектора линейного оператора

Теорема 29.1. Собственные значениями линейного оператора , действующего в линейном пространстве Х над полем Р, являются характеристические корни этого оператора, принадлежащие Р, и только они.

Теорема 29.2. Множество L_ Собственных векторов линейного оператора , отвечающих собственному значению , вместе с нулевым вектором линейного пространства является линейным подпространством.

Теорема 29.3. Любой линейный оператор, действующий в действительном линейном пространстые Х, имеет по крайней мере одно- или двумерное инвариантное подпространство.

Теорема 29.4. Пусть линейное пространство Х распадается в прямую сумму X = L₁L₂ инвариантных подпространств линейного оператора , действующего в Х. Если - базис в L₁, а - базис в L₂, то в базисе матрица оператора имеет блочно-диагональный вид:

При том блок - это матрица сужения оператора на подпространство L₁ в базисе , а - это матрица сужения оператора на подпространство L₁ в базисе .

Теорема 29.5. Геометрическая кратность собственного значения линейного оператора не превышает его алгебраической кратности.

Теорема 29.6. Собственные векторы линейного оператора, отвесающие различным собственным значениям , линейно независимы.

30. Жорданова нормальная форма

Вначале рассмотрим оператор , заданный в базисе

условиями

Его матрица в этом базисе диагональная, и мы без труда можем указать все собственные значения, собственные векторы и инвариантные подпространства, однако в базисе

оператор имеет матрицу

и нахождение указанных объектов затруднительно. Таким образом, при изучении свойств оператора важно выбрать базис в котором матрица оператора имеет простой вид, такой вид называют нормальной формой матрицы (оператора). Какой вид считать простым определяется задачами, которые предполагается решать. Наиболее известной является жорданова нормальная форма матрицы.

Минимальный полином жордановой матрицы совпадает с ее

характеристическим полиномом тогда и только тогда, когда она не содержит двух клеток с одним λ

Жорданова матрица J , подобная (над P ) матрице F , называется

её жордановой нормальной формой (ЖНФ).

Если для матрицы A существует ЖНФ над полем P , то все корни

характеристического полинома матрицы A лежат в поле P.