12. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств

Теорема 12.1 В конечномерным векторным пространстве Х рамерность суммы L₁+L₂ равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения, т.е.

dim(L₁+L₂) = dimL₁ + dimL₂ - dim(L₁L₂).

Д-во:

В подпространстве L₁L₂ выберем какой-либо базис эта система векторов линейно независима. Дополним ее до базиса в L₁ системой векторов и до базиса в L₂ системой векторов

Объединяем систему = и докажем, что она является базисом в L₁+L₂

Через систему векторов линейно выражается любой вектор z L₁+L₂. Действительно, для вектора z имеет z=х+у, где x L₁, у L₂. Вектор х линейно выражается через систему , а вектор у – через систему . Поэтому z линейно выражается через систему _.

Докажем, что система векторов линейно независима_.

(1)

Объединим слагаемые, относящиеся к векторам системе и :

Вектор а принадлежит L₁. Но из равенства (1) следует, что

и вектор а принадлежит L₂. Значит, а L₁L₂. Вектор а линейно выражается через систему e, т.е.

.

Можно рассматривать как разложение вектора а L₁ по базису .

В разложения по базису заключаем, что оба разложение совпадают, т.е. ,

С полученных равенство (1) примнимент вид

Поскольку система векторов линейно независима, это равенство возможно лишь нулевых значениях всех коэфициентов:

Доказано, система линейно независима и является базисом в подпространстве L₁+L₂.

, , , то

= = = . Теорема доказана.

13. Прямая сумма подпространств

Множество всех векторов х вида х = a+b, где a L₁, b L₂ называют суммой подпространств L₁и L₂ и обозначают L₁+L₂. Если при этом пересечение L₁L₂ - нулевое подпространство, то сумму L₁+L₂ называют прямой суммой и обозначают через L₁L₂.

14. Прямое дополнение подпространств

Если сумма L₁+L₂ подпространств L₁и L₂ в Х является прямой, то представление любого вектора х в виде х=a+b, где a L₁, b L₂ единственно. В частном случае, когда X = L₁L₂, также каждый вектор х имеет единственное представление х=a+b, где a L₁, b L₂. Подпространства L₁и L₂ называют прямыми дополнениями друг друга, а слагаемое a L₁ – проекцией вектора х на подпространство L₁ паралельно подпространству L₂.

15. Критерий совместимости системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

с матрицей

А=

и расширенной матрицей

B=

Система называется совместимой, а если у системы решений нет, то несовместимой (противоречивой).

Теорема 15.1 (теорема Кронекера-Капелли)

Система линейных уравнений

совместна тогда и только тагда, когда ранг матрицы А системы равен рангу ее расширенной матрицы B.

Д-во:

Пусть система совместна. докажем, что rang(A) = rang(B).

Для этого возьмем какое-либо решение k₁, k₂, … ,k _n и подставие его в каждое уравнение системв.

Тогда

(1)

Эту систему перепишем в виде

Следовательно, при вычислении ранга матрицы В этот столбец в соответствии со свойством 6 ранга матрицы можно из матрицы B удалить. Это означает, что rang(A) = rang(B).

Пусть rang(A) = rang(B). Докажем, что система совместима. Равенство rang(A) = rang(B) означает, что базис системы столбцов матрицы А является и базисом системы столбцов матрицы В, т.е. существует набор таких чисел k₁, k₂, … ,k _n, что выполняется равенство (1). Это означает, что является решением рассматриваемой системы. Система совместна.

Теорема 15.2 Совместная система линейных уравнений эквивалентна любой своей базисной подсистеме.