20. Действие с линейными операторами

Пусть из линейного пространства Х над полем Р в линейное пространство Y над тем же полем действуют линейные операторы и  считаются равными, если , xX.

Суммой операторов и  называют оператор + , т.е.

, xX

Действительно, для любых векторов у,xX имеем:

Для любого вектора xX и числа Р:

Произведением линейного оператора на число Р называют оператор , т.е. , xX

Действительно, для любых векторов у,xX и любого числа Р имеем:

1)

2)

21. Матрица линейного оператора

Предположим, что в линейном пространстве X задан базис

, а в линейном пространстве Y – базис . Каждый вектор такой по базису q:

с матрицей

А= и назавем ее матрицей линейного оператора в паре базисов е и q.

Теорема 20.1. Пусть – линейный оператор, действующий из линейного пространства Х в линейное пространство Y имеющий в двух заданных базисах e в X и q в Y матрицу А. Тогда

1) ранг r оператора совпадает с рангом его матрицы А.

2)дефект оператора равен разности n – r размерности n линейного пространства Х и ранга r оператора .

3)сумма ранга и дефекта оператора равна размерности линейного пространства Х.

22. Соответствующие действия над операторами и матрицами

23. Изоморфизм линейного пространства

Биективное отображение векторных

пространств X и Y над полем P называется изоморфизмом, если для любых векторов x,y ∈ X и любого числа ∈ P выполняются условия:

Отметим простейшие свойства изоморфизмов.

Свойство 1. Тождественное отображение , является изоморфизмом.

Свойство 2. Если – изоморфизм, то обратное отображение также изоморфизм.

Действительно, поскольку – биективное отображение, то существует обратное отображение . Пусть x,y ∈ X . Так как биективно, то существуют элементы v,u ∈ X , такие, что

, .

Следовательно,

, что и требовалось.

Свойство 3. Если и – изоморфизмы векторных

пространств, то – также изоморфизм.

Свойство 4. Для произвольного натурального n

=

Свойство 5. = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Действительно, если x = 0, то .

Свойство 6. Если – линейно независимая система в X , то – линейно независимая система в Y , т.е. изоморфизм переводит линейно независимые системы в линейно независимые.

Свойство 7. Если – базис X , то – базис Y .

Теорема 5.1. Если векторные пространства V и W над полем имеют

одинаковую размерность, то они изоморфны.

24. Ранг и диффект линейного оператора

25. Изменение матрицы линейного оператора при замене матрицы

26. Инвариантное подпространство

Подпространство W линейного пространства V называется инвариантным относительно оператора T, действующего в пространстве V, если для любого , иными словами, .

Важными примерами T-инвариантных подпространств являются собственные и корневые подпространства оператора.

Линейная независимость собственных векторов, отвечающих разным собственным значениям.

Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Оператор простого типа, диагонализуемость его матрицы.

Матрица называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что Т^-1АТ=В является диагональной.

Достаточное условие оператора простого типа.

Матрица линейного оператора диагонализуема тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого оператора.

(Матрица А линейного оператора f n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов.)

Инвариантные подпространства.

Базис, составленный из собственных векторов линейного оператора называют собственным базисом оператора.