3. Линейная выражаемость системы векторов

Система векторов х₁, … ,х_s, s2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные векторы.

Действительно, если система векторов х₁, … ,х_s линейно зависима, то выполняется равенство α₁х₁ + … + α_sх_s=0, в котором, например, х_s  0.

Тогда из этого равенства получаем:

х_s= -( α₁/ α_s) х₁ - … - ( α_s-1 / α_s) х_s-1. Это означает, что ветор х_s линейно выражается через систему векторов х₁, … ,х_s-1 , т.е.

х_s =α₁х₁ + … + α_s-1 х_s-1

Тогда верно и равенство α₁х₁ + … + α_sх_s=0, в котором α_s= -1  0. Значит, система векторов х₁, … ,х_s линейно зависима.

4. Базис векторного пространства

Векторное пространство называют конечномерным, если в нем есть линейно независимая система, состоящая из n векторов, а любая конечная система из большего числа линейно зависима.

Если такого числа нет, т.е. если для любого числа n в векторном пространстве существует линейно независимая система из n векторов, то такое векторное пространств называют бесконечным.

Всякую конечную упорядоченную систему векторов векторного пространства V называют базисом, если эта система линейно независима и любой вектор векторного пространства линейно выражается через векторы этой системы.

Теорема 3.1 Пусть векторное пространство Х_n обладает базисом

e₁ , … , е_n. тогда любой вектор х из V_n единственным образом представляется в виде х=х₁е₁ + … + х_nе_n = (е₁, … , е_n) = e [x]. Теорема 3.2. Все базисы конечномерного векторного пространства V

состоят из одинакового количества векторов.

Доказано, система линейно независима и является базисом в подпространстве L₁+L₂.

, , , то

= = = . Теорема доказана.

5. Размерность и свойства векторного пространства

Пусть V – конечномерное векторное пространство. Число n элементов произвольного базиса V называется размерностью V и обозначается dimV = n . В этом случае говорят, что V – n - мерное пространство. Нулевое пространство {0} будем считать нульмерным, т.е. dim{0} = 0.

Некоторые свойства векторных пространств:

1)Значение суммы комплексного числа векторов не зависит от порядка суммирования (например, x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z) ). Поэтому операцию сложения векторов можно распростронить на любое конечное число векторов.

2)Произведение нулевого вектора на любое число  из основного поля равно нулевому вектору, т.е. 0=0. Действительно,

0=(0+0)=0+0. Следовательно,0=0-0=0.

3)Произведение любого вектора x на число 0 рано нулевому вектору,т.е. x0. Действительно,x0=x(0+0)=x0+x0,откуда:

x0=x0-x0=0.

4)Если αx=0,то либо α=0,либо х=0.В самом деле,если α  0, то

х =1х=[(1/α)α]х=(1/α)(αх)=(1/α)0=0.

5)Для каждого вектора х противоположный вектор равен произведению х на число -1, т.е. –х= -1х. В самом деле,

х+(-1)х=1х+(-1)х=(1-1)х=0х=0. Означает, что вектор (-х) является противоположным к вектору х.

6)Для любого вектора х и любого числа α выполняется равенство α(-х)=(-αх).Действительно,

α(-х)= α[(-1)х]= [α(-1)]х= (-1)(αх) =(-αх).

7)Для любых векторов х и у и любого числа α выполняется равенство α(х-у)= αх- αу.В самом деле,

α(х-у)= α[х+(-у)]= αх+ α(-у)= αх- αу.