43. Закон инерции вещественных квадратичных форм

Квадраты переменных, входящие в канонический вмд с положительными коэфициентами, будем называть положительными квадратами, а квадратв, входящие в канонический вид с отрицательными коэфициентами, - отрицательными квадратами.

Для квадратичных форм имеет место следующий закон инерции.

Теорема 43.1 Число положительных квадратов, как и число отрицательных квадратов, в любом каноническом виде данной квадратичной формы одно и то же и не зависит от того, каким невырожденным линейным преобразованием переменных получен канонический вид.

Д-во:

Пусть квадратичная форма имеет канонический вид

, в базисе и канонический вид в базисе

Общее количество квадратов в двух канонических видах одинаково и совпадает с рангом квадратичной формы.

Допустим, r > p. Рассмотрим в линейном пространстве подпространства и . Поскольку r > p, то сумма размерностей этих подпространств перевышает размерность n рассматриваемого линейного пространства. Поэтому т.е. .

Из условия вытекает представление

а из условия – представление

Значит вектор х в базисе пространства X имеет столбец координат , а в базисе – столбец координат .

Из первого получаем

а из второго -

Полученное противоречие показывает, что r > p неверно. Следовательно, r = p и количесиво квадратов одного знака в двух канонических видах данной квадратичной формы совпадают.

44. Знакоопределенная форма

Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной, если

) при

Если ) при , то ее называют положительно (отрицательно) полуопределенной

Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют знакопеременной

Для того чтобы квадратичная форма от nпеременных была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы она приводилась к каноническому виду с n положительными (отрицательными) квадратами.

45. Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы А были положительными, т.е.

…

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы А квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус.

46. Эквивалентность квадратичных форм

Теорема 45.1 Квадратичная тогда и только тогда может быть приведена неособенным линейным преобразованием к виду.

, когда она обладает рангом r.

Теорема 45.2 всякая квадратичная форма ранга r помощью неособенного линейного преобразования может быть приведена к виду , где k – совершенно произвольные наперед заданные величины, если отличные однако, от нуля.

Теорема 45.3 Всякая квадратичная форма ранга r помощью неособенного линейного преобразования может быт приведена к нормальной форме

Теорема 45.4 Две квадратичные формы тогда и только тогда будут эквивалентны по отношению к неособенным линейным преобразованиям, когда формы эти обладают одним и тем же рангом.