36. Билинейный формы
Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ).
Билинейной
формой называется функция
,
линейная по каждому из аргументов:
,
,
,
.
здесь
и
Свойства:
-Множество
всех билинейных форм
,
заданных на произвольном фиксированном
пространстве, является линейным
пространством.
-Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
-При
выбранном базисе
в L
любая билинейная форма F
однозначно определяется матрицей
-Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
-Размерность
пространства
есть
.
-Несмотря
на то, что матрица билинейной формы F
зависит от выбора базиса, ранг матрицы
билинейной формы в любом базисе один и
тот же, он называется рангом билинейной
формы F.
Билинейная форма называется невырожденной,
если ее ранг равен
.
-Для
любого подпространства
ортогональное дополнение
является подпространством
.
-
,
где r
— ранг билинейной формы F.
37. Квадратичные формы
Действительной
квадратичной формой от n
действительных переменных 
называют
многочлен с действительными коэфициентами
, каждый член которого имеют вторую
степень, т.е. многочлен вида
Пусть
– квадратичная форма
.
Коэффициент
при 
в ней обозначен через 
,
а коэффициент при произведении 
– через
.
Будем считать, что 
При такой договоренности квадратичную форму мажно записать следующим образом:
Такой вид записи квадратичной формы называют ее симметричным видом.
38. Ограничение билинейных и квадратичных форм
39. Ортагональные вектора
Пусть
L
– подпространство евклидова пространства
Е. Каждый вектор 
может быть единственным способом
представлен в виде 
,
где 
,
а вектор 
ортогонален вектору из L,
т.е. 
.
Вектор 
называют ортогональной
проекцией вектора
на
пространство
L
и обозначают 
,
а вектор
называют ортогональной
составляющей вектора
.
Очевидно,
что если 
, то 
,
и, наоборот, если
,
то 
Длина ортогональной составляющейвектора х меньше длины любого вектора, опущенного из конца вектора х на подпространство L.
Действительно,
пусть
– произвольный вектор, опущенный из
конца вектора х на подпространство L
и 
- ортогональная составляющая вектора
х. Тогда 
при 
Поэтому
так
как 
и
ортогональны.
40. Приведение к кононическому виду
Теорема 39.1 Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных можно привести к каноническому виду.
Привести квадратичную форму к каноническому можно методом Лагранжа.
Пусть,
например, в квадратичной форме
есть член с квадратом переменной
, т.е. 
.
Тогда получим
где 
– квадратичная форма уже только от
переменных 
Введем новые переменные
И примет вид
Пусть
Q
– его матрица, А – матрица квадратичной
формы, С – диагональная матрица
полученного канонического виде. Тогда
формула примет вид 
41. Алгоритм Логранжа
42. Нормальный вид квадратичной формы над c и r
Пусть
квадратмичная форма
приведена к каноническому виду 
, 
, 
Выполним дополнительное преобразование переменных
,
В результате квадратичная фр=орма преобразуется к виду.
такой вид квадратичной формы называют
ее нормальным
видом