Технологическая карта (план) занятия № 10

Дисциплина Математические методы

Тема Задача линейного программирования с N переменными. Симплекс-метод линейного программирования

Тип занятия Изучение нового материала

Вид, форма занятия Лекция

Цели урока:

• формирование практических навыков решения задач,

• научить правильно и грамотно оформлять решения задач в тетради,

• внести вклад в математическое воспитание,

• научить выбирать оптимальное решение,

• формирование умений и навыков самообразования,

Литература:

• Патыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы: Учебник, 2005.

• http://matmetod-popova.narod.ru

• Агальцов В.П., волдайская И.в. Математические методы в программировании: Учебник, 2006

• http://www.erudition.ru/referat/ref/id.35956_1.html

Требования к урокам:

Студент должен:

Знать:

• понятия базисного решения и свободных переменных;

• алгоритм симплекс-метода;

Уметь:

• решать ЗЛП с n-переменными

Содержание урока:

1. Организационный момент проверка посещаемости

2. Изучение нового материала

Технологическая карта (план) занятия № 10

1. Организационный момент проверка посещаемости

Методы решения ЗЛП

1.2 Табличный симплекс - метод

1.3 Метод искусственного базиса

1.4 Модифицированный симплекс - метод

Описание Симплекс-метода

Порядок работы с симплекс таблицей

Пример 1 Задача об использовании сырья

Пример 2.

Пример 3

Пример 4 Задача об использовании ресурсов

Пример 5

1. 3. Закрепление изученного материала Контрольные вопросы, задачи (2 варианта)

4. Домашнее задание стр.25-36 [3]

Задача линейного программирования с N переменными. Симплекс-метод линейного программирования.

Методы решения злп

Для решения задач линейного программирования применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

1.2 Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему :

• Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

• Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ” или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

• искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

• Формируется симплекс-таблица.

• Рассчитываются симплекс-разности.

• Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

• При необходимости выполняются итерации.

• На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

1.3 Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m , а в задачи минимизации - с положительными m . Таким образом из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

Метод искусственного базиса применяется в тех случаях, когда в задаче ЛП затруднительно определить начальное допустимое базисное решение с помощью эквивалентных преобразований.

Алгоритм метода искусственного базиса:

1) Привести задачу к каноническому виду.

2) Ввести в ограничения искусственные переменные и составить новую целевую функцию Z, являющуюся суммой искусственных переменных.

3) Исключить из новой целевой функции базисные переменные.

4) Используя искусственные переменные в качестве базисных, построить начальную симплексную таблицу.

5) Использовать симплекс – метод, исключая из базиса искусственные переменные до тех пор, пока Z_min = 0 и все искусственные переменные не выйдут из базиса.

6) Вычеркнуть строку для Z, столбики, соответствующие искусственным переменным и решать исходную задачу.

Примечания:

1. Если в результате первой фазы окажется, что Z_min  0, то система ограничений исходной задачи несовместна. Во всех остальных случаях первая фаза разрешима.

2. При решении может возникнуть ситуация Z_min = 0, но некоторые из искусственных переменных не выведены из базиса. В этом случае следует: 1) выбрать в строке, соответствующей нулевой искусственной переменной, ненулевой элемент, а соответствующий ему столбец объявить базисным; 2) повторить процедуру вывода искусственных переменных пока все они не будут удалены из базиса.

3. Применение метода упростится, если искусственные переменные ввести только в те ограничения, в которых нет переменных, которые можно взять в качестве базисных без каких-либо преобразований.