2.3 Математическое описание подхода

2.3.1 Алгебра логики

Как показано в работе [19], 4-f схема ФГ (рис.2.3.1.) строит алгебру логики <U, F, , , M >, где U –универсум, в качестве которого выступает плоский волновой фронт, ограниченный апертурой кадрового окна, F – оператор Фурье-преобразования, задающий Фурье-дуальность операторов конъюнкции и дизъюнкции в форме закона де-Моргана,

a,bU ; (a  b) = F (F (a)  F (b)),

 и  - операторы конъюнкции и дизъюнкции, соответственно, M – семантическое правило. Если M(A)= Im_A, то операция конъюнкции суть умножение, реализуемое при освещении транспаранта Im_A.

Операция дизъюнкции, Фурье-дуальная конъюнкции в смысле закона де-Моргана, реализуется в –1 порядке дифракции схемы рис.2.3.1.

(Im_a  Im_b)_F = F ( F(Im_b) (F(Im_a)) ) , (2.3.1)

где   оператор голографической регистрирующей среды, на которой записана ФГ операнда Im_a, Im_b – операнд, восстанавливающий голограмму.

Рис.2.3.1. 4-f схема Фурье-голографии. L₁, L₂ – фурье-преобразующие линзы с фокусными расстояниями f, H – фурье-голограмма.

При трактовке дизъюнкции как абстрактного сложения , в +1 порядке дифракции реализуется вычитание , определяемое как сложение с аддитивно противоположным элементом

(Im_b  Im_a) = F ( F(Im_b) (F^*(Im_a)) ), (2.3.2)

где астериск обозначает комплексное сопряжение. Аддитивный ноль в данной алгебре суть -функция, описывающая в приближении Фурье-оптики дифракционно ограниченный точечный источник, формирующий в схеме рис.2.3.1. плоскую опорную волну R = F().

Реализуемые в схеме рис.2.3.1. семантические операторы определены следующим образом:

M₊₁ (A  B) = F(F(Im_B)(F^*( Im_A))) (2.3.3)

для +1 порядка дифракции и

M_-1(A  B) = F(F(Im_B)(F ( Im_A))) . (2.3.4)

для –1 порядка дифракции.

Таким образом, как следует из (2.3.3), обработка изображений в схеме рис.2.3.1. может быть описана как реализация логического вывода «Обобщенный Modus Ponens», что позволяет объединить ЛМ и ОМ. Отметим, что этот вывод согласуется с результатами работ [20-23], в которых показано, что любое измерение, как в классических, так и в квантовых системах, представляет собой форму логического вывода «Обобщенный Modus Ponens». В работе [23] показано, что любое вычисление, а также обучение вычислителя есть измерение.

2.3.1 Оператор дефаззификации

Как следует из (2.3.3), если образ описывается k признаками, т.е. паттерн внутренней репрезентации представляет значения k ЛП, то значение логического вывода (выходной ЛП) Im_Out с учетом (2.2.1), описывается выражением

Im_Out= c_iF(F(Im_Ini)(F^*( Im_Ri))) (2.3.5)

где суммирование производится по числу входных ЛП, представленных в паттерне, i – порядковый номер ЛП, Im_Ini – фрагмент паттерна, представляющий текущее значение i-­ой ЛП, Im_Ri – фрагмент, представляющий эталонное значение, c_i – субъективная оценка важности экспертом i-­ой ЛП (ее удельный вес). Значение выходной ЛП (2.3.5) представляет собой НЧ, в то же время для подачи на исполнительные органы само решение должно быть четким (например, при оценке образа яблока - берем яблоко или нет). Задача формирования сигнала, пригодного для подачи на исполнительные органы, решается применением к (2.3.5) оператора дефаззификации DF, в качестве которого предлагается [19] использовать измерение ширины отклика системы (2.3.5) (значения выходной ЛП) по выбранному уровню (-срез НЧ)

DF(Im_Out) = (c_iF(F(Im_Ini)(F^*( Im_Ri))))_, [0,1]. (2.3.6)

Из (2.3.6) следует, что в силу нелинейности оператора голографической регистрирующей среды  зависимость DF(Im_Out) от Im_Ini существенно различна для разных величин . Действительно, уширение Im_Outi сопровождается эффектом декорреляции - уменьшением амплитуды i-го компонента Im_Outi в зависимости от передаточной характеристики голограммы  и соотношения коэффициентов c_i. В результате, при заданном , начиная с некоторого значения Im_Ini  Im_Ti , система окажется нечувствительна к дальнейшему возрастанию оценки i-го компонента Im_Ini. При больших  система будет более критична к наличию во входном наборе ЛП со значениями, близкими к Im_Ri – наличие одной ЛП с низкой оценкой для системы в этом случае «важнее», чем «высокие» значения остальных ЛП. Напротив, при малых  система «замечает» высокие значения ЛП и «терпима» к наличию низких оценок в наборе входных ЛП.