§24. Методы Рунге - Кутта.
Определение.
Численные
методы решения задачи Коши
на равномерной сетке (x0=a,
x1,
x2,…,
xm=b)
отрезка [a,
b]
с шагом
называются методами
Рунге - Кутта,
если, начиная с данных (x0,
y0),
решение ведётся по следующим рекуррентным
формулам:
(1)
)
Метод называется методом Рунге - Кутта порядка p, если он имеет p-й порядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности p достигается с помощью формул (1) при определённых значениях коэффициентов cj и dj (j=1,2,...,p); причем c1 всегда полагают равным нулю. Эти коэффициенты вычисляются по следующей схеме:
1) точное решение
и его приближение
представляют в виде разложения по
формуле Тейлора с центром x0
вплоть до слагаемого порядка hp+1;
2) из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разложениях получают уравнения, решая которые находят коэффициенты cj и dj.
1 Случай. Метод Рунге - Кутта первого порядка.
Этот метод также можно назвать методом Эйлера
Покажем это. Пусть p=1, c1=0, d1=1, формулы (1) преобразуются в соотношения: xi=xi-1+h, yi=yi-1+Dyi-1, i=1,2, …, m
или
.
2 Случай. Метод Рунге-Кутта второго порядка.
Этот метод также называется методом Эйлера - Коши.
Пусть p=2,
c1=0,
c2=1,
d1=d2=
.
Алгоритм метода Эйлера - Коши получается
из формул (1):
xi=xi-1+h,
yi=
(2)
Для практической оценки решения можно применять правило Рунге, полагая в приближённом равенстве (правиле Рунге) p=2.
Пример.
Решить задачу Коши y'=x+y,
методом Эйлера - Коши на отрезке [0; 0,4].
Найти решение на равномерной сетке с
шагом 0,1 в четырёх узловых точках.
Решение. Формулы (2) в данном случае примут вид:
Полагая x0=0, y0=1 при i=1 последовательно находим
;
;
при i=2
.
Далее получаем: при i=3, x3=0,3 -- y3=1,398405, при i=4, x4=0,4 -- y4=1,581804.
Погрешность
полученного решения не превышает
величины
3 Случай. Метод Рунге - Кутта четвёртого порядка.
Этот метод также называют классическим методом Рунге - Кутта.
Пусть p=4,
c1=0,
c2=c3=
c4=1,
d1=d4=
,
d2=d3=
.
Из рекуррентных формул (1) получим
алгоритм решения задачи Коши классическим
методом Рунге - Кутта:
(3)
Графиком приближённого решения является ломаная, последовательно соединяющая точки Pi(xi,yi) (i=0,1,…,m). С увеличением порядка численного метода, звенья ломаной приближаются к ломаной, образованной хордами интегральной кривой y=j(x), последовательно соединяющими точки (xi,j(xi)) на интегральной кривой.
Правило Рунге практической оценки погрешности решения для численного метода четвёртого порядка имеет вид:
Пример. Решить задачу Коши y'=x+y, классическим методом Рунге - Кутта на отрезке [0;0,4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом 0,1 в четырёх узловых точках.
Решение: Так как f (x,y)=x+y, то согласно формулам (3) получаем
;
;
Полагая x0=0, y0=1, последовательно находим при i=1:
0,1(0+0,05+1+0,055)=0,1105
0,1(0+0,1+1+0,1105)=0,121050
x1=0+0,1=0,1;
y1=
при i=2:
=0,1(0,1+0,05+1,110342+0,0605171)=0,1320859
=0,1(0,1+0,05+1,110342+0,06604295)=0,1326385
=0,1(0,1+0,1+1,110342+0,1326385)=0,1442980
x2=0,1+0,1=0,2;
y2=
.
Далее получаем при i=3, x3=0,3, y3=1,399717; при i=4, x4=0,4; y4=1,583648.
Погрешность
полученного решения не превышает
величины
