§23. Метод Эйлера.

Простейшим численным методом решения задачи Коши (1)-(2) (§20) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке P₀(x₀,y₀) есть . Hайдём ординату y₁ касательной, соответствующей абциссе x₁=x₀+h. Так как уравнение касательной к кривой в точке P₀ имеет вид то Угловой коэффициент в точке P₁(x₁,y₁) также находится из данного дифференциального уравнения На следующем шаге получаем новую точку P₂(x₂, y₂), причём

Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для m приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными (x₀, y₀) на сетке отрезка [a, b] с шагом h: (1).

y P2 y2 P1 y1 P0 j(x2) y0 j(x1) O x0 x1 x2 x

Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки P0, P1, P2, … ,Pm, которую называют ломаной Эйлера. Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке x1 по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа:

,

Погрешность метода на одном шаге имеет h², т.к.

После m шагов погрешность вычисления значения y_m в концевой точке отрезка возрастёт не более чем в m раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде

, где

Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз погрешность примерно уменьшится в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом , в точке производят с помощью приближённого равенства-правила Рунге:

(2)

где p-порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (2) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой - с шагом .

Пример. Решить задачу Коши методом Эйлера на отрезке [0; 0,4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом h₁=0,1, h₂=0,05 в четырёх узловых точках. Аналитическое решение задачи имеет вид .

Решение: Здесь m=4, a=0, b=0,4 Используя рекуррентные формулы x₀=0, y₀=1, x_i=x_i-1+0,1; y_i=y_i-1+0,1(x_i-1+y_i-1); i=1,2,3,4 последовательно находим

при i=1: x₁=0,1; y₁=1+0,1(0+1)=1,1

при i=2: x₂=0,2; y₂=1,1+0,1(0,1+1,1)=1,22

при i=3: x₃=0,3; y₃=1,22+0,1(0,2+1,22)=1,362

при i=4: x₄=0,4; y₄=1,362+0,1(0,3+1,362)=1,5282

Обозначим , и представим результаты вычислений в таблице:

i	xi	yi(h)	yi	j(xi)		di
1	0,1	1,1	1,105	1,110342	0,005	0,005332
2	0,2	1,22	1,231012	1,242805	0,011012	0,011793
3	0,3	1,362	1,380191	1,399718	0,018191	0,019527
4	0,4	1,5282	1,554911	1,583649	0,026711	0,028738

Отметим, что оценка погрешностей решения , вычисляемых по формулам (2), близки к отклонениям d_i и обе величины достигают значения -ошибки метода Эйлера при вычислении с шагом 0,05. Для сравнения заметим, что погрешность при вычислениях с шагом 0,1 составляет .