Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

§22. Понятие о численном решении задачи Коши.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной имеет вид

(1).

Решением дифференциального уравнения называется функция j(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество:

График решения называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция при любом значении произвольной постоянной С.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

(2).

Пару чисел называют начальными данными. Решение задачи Коши называют частным решением уравнения (1) при условии(2).

y y0 O x0 x

пример: частным решением задачи Коши является функция . Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку .

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция f(x, y)-правая часть дифференциального уравнения (1)-непрерывная вместе со своей частной производной в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных задача Коши (1) - (2) имеет единственное решение .

При выполнении условий теоремы через точку на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются. Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы искомое решение получить в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента x на некотором отрезке (a, b): а=x₀, x₁, x₂,…,x_m=b (3).

Точки (3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [a, b]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h. или . Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках x_i обозначим y_i; таким образом,

Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной , то есть расстоянием между векторами приближённого решения (y₀, y₁, … , y_m) и точного решения на сетке по m-норме.

Определение. численный метод имеет p-й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h: d=ch^p, p>0,где c-некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода.

В данном случае очевидно, что когда h cтремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.