27(1). Интеграл Лебега.

f:ER, E(f>0)={xE: f(x)>0}

E(f>a)={xE: f(x)>a} (совокупность всех тех х из Е, где f(x)>a)

Опр.Функция f называется измеримой, если

1) Е – измеримо;

2) аR E(f>a) – измеримо.

Утв. Непрерывная функция на отрезке – измеримая функция.

Пусть f – измеримая ограниченная функция на измеримом ограниченном множестве Е. Существуют А и В такие, что Аf(x)В хЕ. Разобьем отрезок [А,В]: А=у₀<y₁<…<y_n=B. Это разбиение обозначим через Т. Обозначим через е_к=Е(у_к-1fy_k) k=1,2,…,n. Множества е_к– измеримы, т.к. е_к =Е(fy_k-1)E(fy_k).

Рассмотрим множества е_i и e_j и ij, для определенности будем считать, что i<j. Пусть х е_i  у_i-1fy_i , если х е_j  у_j-1fy_j  у_iy_j , т.е. f(x)у_iy_j . Эти множества не пересекаются, т.е. е_i e_j =, , если к этому равенству применить аддитивность, то получим . Возьмем параметр разбиения . Введем суммы Лебега: нижняя сумма и верхняя . Рассмотрим разность сумм

Любая нижняя сумма ограничена сверху некоторым вещественным числом и u<S

Любая верхняя сумма ограничена снизу некоторым вещественным числом и u<v

suvS  0u-sv-sS-s, но S-smE0. Из неравенства uv  0v-u, т.к. Sv  v-uS-uS-s . Перейдем к пределу при 0 получим 0v-u0  v-u=0  v=u.

Опр. Интегралом Лебега функции f по множеству Е называется общее значение чисел u и v и обозначается . Интеграл определяется функцией f множества E и числами A и B, при этом он определен для всякой измеримой ограниченной функции и он есть конечное вещественное число

Теорема. (о среднем) Пусть на измеримом ограниченном множестве Е задана измеримая, ограниченная функция f, af(x)b, xE, тогда

 Возьмем nN, , . Тогда A_n<af(x)b<B_n , A_n и B_n – верхняя и нижняя границы. A_n=у₀<у₁…у_m= B_n . Строим по этому разбиению нижнюю сумму

y_k-1A_n и y_k-1B_n тогда

, т.к.  перейдем к пределу при 0

далее перейдем к пределу при n0  . 

Опр. Те множества, которые находятся во взаимнооднозначном соответствии с N называется счетным. Множество всех целых чисел счетно.

Теорема (о полной аддит. интеграла Лебега).

Пусть ограниченное измеримое множество Е представлено в виде объединения попарно не пересекаемых счетного или конечного числа измеримых множеств Е_к , т.е. Е_iЕ_j=,ij. Тогда .

Утв.(аддитивность относительно функции)

Пусть на ограниченном измеримом множестве заданы две измеримые ограниченные функции f и g. Тогда

Утв.(монотонность) Пусть на ограниченном измеримом множестве Е заданы две измеримые ограниченные функции f и g такие, что f  g на Е. Тогда .

Теорема. Пусть на ограниченном измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f. Для того чтобы функция f была интегрируемой по Риману необходимо и достаточно, чтобы мера множества точек разрыва этой функции равнялась нулю.

Теорема. Если ограниченная измеримая функция f интегрируема по Риману, то эта функция интегрируема по Лебега, причем интегралы (в смысле Римана и в смысле Лебега) совпадают.

Обратное утверждение не верно.