26(1). Измеримые множества на прямой.

Свойства меры:

1.mA ≥ 0; 2.AB , mA  mB;

3.A,B A  B=m(AB)=mA+mB.

Мера открытого, ограниченного множества на прямой:

m=0; m(a,b)=b-a (число).

Пусть G–открытое, непустое множество на прямой. Множество называется открытым, если все его точки внутренние. Точка х₀ G называется внутренней, если >0 (x₀-,x₀+)G.

Опр. Те множества, которые находятся во взаимнооднозначном соответствии с N называется счетным. Множество всех целых чисел счетно.

Утв. Пусть G – непустое, открытое, ограниченное множество, то mG0.

Теорема. Всякое непустое открытое ограниченное множество на прямой представимо в виде объединения конечного или счетного количества попарно не пересекающихся интервалов, концы которого не принадлежат G.

Утв. Пусть G – непустое, открытое, ограниченное множество на прямой и ( мера открытого множества)

и , то

Теорема. (монотонность) Пусть G₁ и G₂ – открытые, ограниченные и непустые множества такие, что G₁G₂  mG₁mG₂.

 Обозначим через _i набор составляющих интервалов G₁ ; {_k} – составляющие интерв. G₂.

_i G₁ G₂ _i G₂ . Найдется _к : _i _к. Разобьем {_i} на классы следующим образом обозначим через А_к тот набор из _i , который попадает в _к . .

Теорема (полная аддит.): Пусть G – непустое, открытое, ограниченное множество и и G_k попарно не пересекаются, то

Опр. Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым

Пример , 

Опр. Точка - называется предельной точкой множества , если всякая окрестность точки содержит в себе точки множества , отличные от точки

Мера замкнутого, ограниченного множества:

m=0; F - ограниченное, замкнутое множество, у такого множества существуют sup и inf: = infF, =supF. S=[,] – наименьший отрезок, содержащий в себе множество F. S\F – открытое множество.

Опр. Мерой замкнутого ограниченного множества F называется mF=--m(S\F).

Свойства меры (замкнутого огр. множества):

Теорема. mF0.

 Рассмотрим (,)S\F. m(,)>m(S\F) mF=(-)-m(S\F)0. 

Теорема (монотонность) Пусть имеются два замкнутых огр-ных множества F₁F₂,то mF₁mF₂ .

 Т.к. F₁ и F₂ – огр.   F₂  F₁ . Рассмотрим \ F₁  \ F₂ – эти множества открытые  по Т. о монотонности мера открытых множеств  m(\ F₁)  m(\ F₂)  m-mF₁m-mF₂  mF₁  mF₂ 

Теорема(аддитивность). Пусть F – замкнутое, ограниченное множество ,где F_k-замкнутые ограниченные множества такие, что F_i F_j =, ij. Тогда .

Измеримые множества

Пусть Е – ограниченное непустое множество.

Опр. Внешней мерой множества Е: m*Е называется число

Опр. Внутренней мерой множества Е называется .

Утв. Пусть Е – ограниченное множество. Тогда m_*Em^*E.

Утв. А и В – ограниченные множества и АВ. Тогда m^*Аm^*В m_*Аm_*В.

Утв. (*) Пусть Е - ограниченное (объединение попарно непересекающихся множеств, конечного или счетного количества). Тогда и

Опр. Ограниченное множество Е называется измеримым, если внешняя и внутренняя меры этого множества совпадают. В этом случае общее значениуе меры называется просто мерой или мерой по Лебегу.

Всякое открытое ограниченное и всякое замкнутое ограниченное множество измеримо.

Теорема (аддит). Пусть (объединение попарно непересекающихся измеримых множеств, конечного или счетного количества). Тогда множество Е – измеримо и .

 Рассмотрим

Т.е. m*E=m_*E=mE – так по определению получаем, что Е – измеримо. И . 

Если Е – неограниченное множество.

E_N= E[-N,N], где N –натур.число.

Е – измеримо, если N-натур. множество E_N – измеримое множество. mE= lim mE_N при N.