21(1). Способы задания поверхности.

1. простая поверхность.

График гладкой функции (1)

будем называть простой поверхностью. Например, плос­кость и параболоид .

2. параметр-ная поверхность. Пусть D - область на плоскости, и и v — декартовы координаты в D.

Уравнения

, , , (2)

где , , - гладкие ф-ции, определенные в , задают некоторое отображение (обозначим его ) этой области в трехмерное пространство с декартовыми координатами . Точка называется регулярной точкой отображения , если в ней ранг матрицы Якоби этого отображения максимальный, т.е. равен двум:

.

Точки области , в которых ранг < 2, называются нерегу­лярными точками отображения Ф.

Пусть отобр. Ф является регулярным в т. .

теорема (о неявной ф-ции): пусть - регулярная точка параметр-ной кривой, заданной (2) . Тогда у точки сущ-ет -окрестность из D, такая, что образ этой окрестности при отображении представляет собой простую поверхность.

Тог­да, пользуясь теоремой о неявной ф-ции, можно доказать, что у точки существует такая окрестность в области все точ­ки которой (т.е. окрестности) явл-ся регулярными точками отображения Ф. Если отображение Ф имеет хотя бы одну регулярную точку, то образ V отображения Ф вместе с самим этим отображением называется гладкой параметризованной поверхностью. Переменные и и v называются параметрами или криволинейными координатами.

Пользуясь той же теоремой о неявной функции, можно доказать, что у точки сущ-ет такая окрестность в области , об­раз которой при отображении Ф является простой поверхностью, т.е. графиком. Т.о., параметр-ная поверхность как бы склеена из простых поверхностей.

Параметр-кие ур-я (2) в векторной форме

3. общая поверхность. Множество точек пространства, координаты которых связаны ур-ем

F(x, y, z) = 0 (3)

где F(x, y, z) - некоторая гладкая функция, назовем общей поверх­ностью. Точка М общей поверхности называется особой, если все три частные производные функции F(x,y,z) в этой точке обращаются в нуль:

.

обычно предполагают, что общая пов-сть имеет хотя бы одну неособую точку М₀. Тогда по теореме о неявной функции у этой точки существует такая окрестность в пространстве, внутри которой поверхность (3) представляет собой простую поверхность, то есть график некоторой функции z=f(x, y). Т.о., общая поверхность как бы склеена из простых поверхностей.

Если из параметрических ур-ний (2) исключить параметры и и v, то получим ур-е вида (3). Обратно, пусть дано ур-е (3). Зададим произвольно (гладкие) функции x(u,v) и y(u,v). Под­ставив их в ур-е (3), найдем ф-цию z(u,v). Полученные три ур-я вида (2) задают некот. параметризацию общей пов-ти (3).

Полагая в уравнениях (2) или (3)

u=u(t), v=v(t) (4)

мы задаем на параметризованной поверхности некоторую кривую, векторное ур-е которой имеет вид

Ур-я (4) наз-ся внутр-ми ур-ми кривой на по­в-ти.

Дифференцируя последнее уравнение, найдем касательный вектор кривой (4)

(5)

Рассмотрим равенство (5) в некоторой точке M(u,v) поверхнос­ти V. Касательный вектор в точке M(u,v) к произвольной кривой на поверхности явл. линейной комбинацией векторов и . Т.о, касательные векторы ко всем кривым на поверхности в регулярной точке M(u, v) лежат в одной и той же плоскости, которая наз. касательной плоскос­тью к пов-ти в точке M(u,v).

Векторы и образуют базис в касат. пл-ти. Прямая, проходящая через точку М перпенд-но касат-ой пл-ти, наз. нормалью к пов-ти V в точке М. В регулярной точке в качестве направляющего вектора нормали можно взять векторное произведение Корд-ми вектора являются миноры матрицы Якоби. Поэтому канонические уравнения нормали имеют вид

,

а ур-ие касат-ой пл-ти

Здесь x, y, z - декартовы корд-ты т. М на пов-ти, X, У, Z — декартовы корд. текущей точки нормали или ка­сательной плоскости.

Теорема. Вектор направлен перпендик.

касательной плоскости, проведенной к поверхности, в точке .

Док-во. F(x,y,z) = 0, но , , z=z(t), тогда F(x(t),y(t),z(t)) = 0. Продиф-руем по t и найдем значение в точке :

, (6)

причем - координаты вектора , лежащего в касательной плоскости, а координаты вектора . тогда получается, что (6) – скалярное произведение ( , )=0, а это означает перпендик-сть этих векторов в плоскости, содержащей эти векторы. Аналогичным образом можно доказать перпендик-сть вектора любому вектору из касательной плоскости, проведенной в точке , что и доказывает перпенд-сть вектора касат. пл-сти.

Для простоты записи, положим . Тогда ур-е касательной плоскости для общей пов-сти в точке :

.

ур-е нормальной плоскости для общей пов-сти в точке :

.