3. Критерий Сэвиджа

Он использует матрицу рисков {r_ji}, элементы которой можно рассчитать по формулам (5.1.1)-(5.1.2), и предписывает в условиях неопределенности выбирать ту стратегию R_j, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т. е.

(5.1.7)

4. Критерий Гурвица

Данный критерий основан на следующих двух предположениях: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1- ) и в самом выгодном состоянии с вероятностью (1- ), где - коэффициент доверия.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путём взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1- ) и _где

_.

Если в исходной задаче матрица возможных результатов {Vji} представляет выигрыш, прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записывается как

(5.1.8)

Если матрица возможных результатов {Vji} представляет затраты (потери), то критерий Гурвица записывается как

(5.1.9)

Если = 0, получим критерий Вальда, а если = 1, то прихо­дим к решающему правилу вида

(5.1.10)

Пример. Телефонная компания должна определить уровень своих возможностей по предоставлению телефонных услуг так, чтобы удовлетворить спрос своих клиентов на планируемый пе­риод.

Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень возможностей телефонной компании (например, с точки зрения возможных затрат на ввод нового тарифа). Отклонения от этих уровней могут приводить к дополнительным затратам. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие телефонных возможностей.

Варианты предоставляемых компанией телефонных услуг	Варианты спроса на телефонные услуги
	1 (S1)	2 (S2)	3 (S3)	4 (S4)
1 (R1)	7	10	18	22
2 (R2)	9	6	8	25
3 (R3)	25	18	16	21
4 (R4)	24	22	20	26

Необходимо выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (α=0,5).

Решение.

Имеются четыре варианта спроса на телефонные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний природы S_{1 ,}S_{2 ,} S_{3 ,}S_4.

Известны также четыре варианта предоставляемых компанией телефонных услуг R_{1 ,} R_{2 ,} R_{3 ,} R_4.

Критерий Лапласа.

Этот критерий предполагает, что S_1,S_2,S_3,S₄ равновероятны, т.е.

Тогда ожидаемые затраты при различных действиях (стратегиях) R₁, R₂, R₃, R₄ составляют:

W{R₁}=0,25 • (7 + 10 + 18 + 22)=14,25;

W{R₂}=0,25 • (9 + 6 + 8 + 25)=12;

W{R₃}=0,25 • (21 +18 + 16 + 21)=19;

W{R₄}=0,25 • (24 + 22 + 20 + 26)=23.

Таким образом, наилучшей стратегией развития телефонных возможностей в соответствии с критерием Лапласа будет R_2.

Критерий Вальда.

Так как V_ji представляет потери (затраты), то применим максиминный критерий. Необходимые результаты вычислений приведены в следующей таблице:

Стратегия Rj	Затраты (Vji, ) , ден. ед.				max(Vji)	minmax(Vji)
	S1	S2	S3	S4
R1	7	10	18	22	22	-
R2	9	6	8	25	25	-
R3	21	18	16	21	21	21
R4	24	22	20	26	26	-

Наилучшей стратегией развития телефонных возможностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшее из худшего» (критерий Вальда) будет третья (R₃).

Критерий Сэвиджа.

Заданная матрица определяет потери (затраты). По формуле (5.1.2) вычислим элементы матрицы рисков {r_ji} и запишем их в следующую таблицу:

Стратегия Rj	Величина риска (rji, )				max(rji)	minmax(rji)
	S1	S2	S3	S4
R1	0	4	10	1	10	-
R2	2	0	0	4	4	4
R3	14	12	8	0	14	-
R4	17	16	12	5	17	-

Результаты вычислений показывают, что применение кри­терия Сэвиджа приводит к выбору в качестве оптимальной второй стратегии (R₂), обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Критерий Гурвица.

Положим =0,5. Результаты необходимых вычислений приведены в таблице:

	S1	S2	S3	S4	min Vji,	max Vji,		min Wji
R1	7	10	18	22	7	22	14,5	14,5
R2	9	6	8	25	6	25	15,5	-
R3	21	18	16	21	16	21	18,5	-
R4	24	22	20	26	20	26	23	-

Следовательно, оптимальное решение согласно критерию Гурвица при =0,5 заключается в выборе стратегии R_1. .

Таким образом, далее лицу, принимающему решение, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа — выбор стратегии R₂, по критерию Вальда — выбор стратегии R₃, по критерию Сэвиджа — выбор стратегии R_2, по критерию Гурвица при = 0,5 — выбор стратегии R₁.

51-62. Решить задачи, зная матрицу игры и вероятности состояний природы, используя критерии оптимальности Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа и максимизации среднеожидаемого выигрыша (минимизации среднеожидаемого риска).

51.

V = р₁ =0,2, р₂ =0,4, р₃ =0,1, р₄ =0,3, α=0,5.

5 2.

V = р₁ =0,5, р₂ =0,2, р₃ =0,2, р₄ =0,1, α=0,5.

5 3.

V = р₁ =0,1, р₂ =0,2, р₃ =0,5, р₄ =0,2 ,α =0,5.

54.

V = р₁ =0,08, р₂ =0,83, р₃ =0,09, α =0,6.

55.

V = р₁ =0,18, р₂ =0,59, р₃ =0,23, α =0,5.

56.

V = р₁ =0,44, р₂ =0,03, р₃ =0,53, α =0,6.

57.

V = р₁ =0,2, р₂ =0,54, р₃ =0,26, α =0,5.

58.

V = р₁ =0,43, р₂ =0,16, р₃ =0,51, α =0,6.

59.

Р = р₁ =0,23, р₂ =0,58, р₃ =0,19, α =0,4.

60.

Р = р₁ =0,17, р₂ =0,68, р₃ =0,15, α=0,3.

61.

Р = р₁ =0,34, р₂ =0,19, р₃ =0,47, α =0,7.

62.

Р = р₁ =0,19, р₂ =0,25, р₃ =0,56, α =0,6.

63-69. Решить задачи, используя методологию теории игр.

63. Шесть экспертов оценивали по двадцатибалльной шкале степень риска проезда на 7 видах транспорта. Результаты оценивания представлены в таблице.

Вид транспорта	Эксперт
Воздушный	1	2	3	4	5	6
Железнодорожный	9	5	10	7	9	8
Водный	5	5	6	7	5	4
Автомобильный	8	7	11	7	9	6
Мотоцикл	15	12	13	10	12	14
Велосипед	19	15	14	8	10	12
Метро	5	14	7	7	7	6

По данным этих оценок по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и др. выявить самые безопасные виды транспорта. Для критерия Гурвица =0,4.

64. Десять экспертов оценивали по десятибалльной шкале модели летних шин для автомобилей, учитывая тормозной путь, надежность управления автомобилем на прямой и на поворотах, поперечные сцепные свойства, цену и пр. Результаты оценки представлены в таблице.

По данным этих оценок по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица ( =0,6), Сэвиджа выбрать наиболее удачную модель.

Модели шин	Эксперт
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Barum Bravuris	9	9	8	9	8	8	7	7	6	9
Continental PC	9	8	8	10	10	10	10	9	8	9
Dunlop SP	8	8	7	6	6	6	9	8	8	5
Goodyear EV	9	9	10	10	10	9	7	8	10	8
Michelin Energy	9	7	6	9	8	7	9	9	10	7
Nokian NRH2	8	8	7	10	9	7	9	9	8	6
Pirelli P6	10	8	8	8	9	10	8	10	10	9

65. На Новый год в детский сад хотят поставить наборы подарков, производимых 5 фабриками. При выборе фабрики руководствуются экспертными оценками стоимости подарков, приведенными в таблице. С какой из фабрик следует заключить договор о поставке наборов подарков, обеспечивая минимальную их стоимость ( =0,5).

Фабрика	Эксперт
	1	2	3	4	5	6
№ 1	20	25	18	15	21	16
№ 2	25	24	18	10	24	15
№ 3	15	28	20	12	19	18
№ 4	9	21	22	18	20	17
№ 5	18	26	20	20	15	22

66. Автомобильная компания рассматривает вопрос о поставке автомобилей на рынок. В зависимости от принятого решения (объема закупки автомобилей для последующей продажи) в квартал и от величины прогнозируемого спроса на автомобили составлена следующая таблица ежегодных финансовых результатов компании (доход, тыс. усл. ед.). Оценку проведите с использованием всех рассмотренных в разделе 5 критериев. При использовании критерия Гурвица сделайте расчёты для =0,3; =0,5; =0,7.

Количество автомашин, продаваемых в квартал, шт.	Оценка прогнозируемой величины спроса
	10	20	30	40	50	60
20	200	250	200	150	300	280
30	210	240	240	180	250	270
40	190	300	210	200	250	330
50	170	320	150	170	200	290
60	150	180	120	160	210	230

67. Определите, какой тип самолёта необходимо построить, чтобы удовлетворить потребность авиаперевозчиков. Множество возможных стратегий включает следующие параметры:

R₁ – самолет на 250 мест и с дальностью полёта 6000 км;

R₂ – самолет на 180 мест и с дальностью полёта 8000 км;

R₃ – самолет на 300 мест и с дальностью полёта 7000 км;

R₄ – самолет на 280 мест и с дальностью полёта 5500 км;

R₅ – самолет на 200 мест и с дальностью полёта 10000 км.

Экономическая эффективность строительства самолётов зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы

Результаты расчёта экономической эффективности приведены в таблице. Для критерия Гурвица взять

Тип самолёта	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4	S5
R1	30	60	30	20	45
R2	40	50	40	40	40
R3	60	80	45	45	30
R4	50	70	60	25	50
R5	70	40	50	30	60

68. Имеются четыре варианта (проекта) оснащения пред­приятия современным техническим оборудованием . Определена экономическая эффективность каждого варианта (как некоторое состояние природы) в зависимости от рентабель­ности производства в четырех кварталах (см. таблицу):

Варианты оснащения	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
R1	8	15	12	11
R2	10	12	14	15
R3	6	8	13	14
R4	5	10	15	12

Требуется выбрать лучший проект по оснащению предприятия, используя критерии, приведенные в разделе 5, = 0,7.

69. На конкурс выставлено пять проектов строительства административного здания районного города .Че­тырьмя рабочими группами проведена экспертиза этих проек­тов. Результаты представлены в таблице.

Варианты проекта	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
R1	18	25	21	21
R2	30	22	24	25
R3	16	28	23	24
R4	25	30	25	22
R5	28	27	20	19

Требуется выбрать лучший проект, используя критерии, перечисленные в разделе 5.1.2, = 0,5.

ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ»

Составители: МЕЕРСОН Алла Юрьевна, Смирнова Елена Игоревна

Редактор ________

Подписано в печать _______. Формат 60x84 1/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л. _____. Уч.-изд. л. _____

Тираж 100 экз. Заказ ___ .

ГОУ ВПО «РЭУ им. Г. В. Плеханова».