41. Принцип максимума. Формулировка теоремы. Сравнение с принципом Вейерштрасса по практическому применению.

Если u₀(t) - кусочно-непрерывная функция по t и Ǝ моменты, при которых u₀(t) граничная точка U (например см. задача оптимального быстродействия; U замкнуто), приведенная схема доказательства (принципа Вейерштрасса) не работает, поскольку третья группа уравнений из формулировки принципа Вейерштрасса ( т. е. 0 = dH/dU_k, k=1…n) несправедлива. В этом случае необходимое условие экстремума принимает иной вид и мы приходим к принципу максимума Понтрягина (доказательство аналогично доказательству принципа Вейерштрасса).

Теорема:

Пусть u₀(t) – кусочно-непрерывное по компонентам управление, x₀(t) – соответствующее ему движение с ограничением: для любого t ϵ [t₁,t₂] => u(t) ϵ U c Eⁿ, причем U₀(t) может быть в некоторые моменты граничной точкой U. Тогда Ǝ ƛ(t): совместно с x₀ и U_0, ƛ удовлетворяет системе:

и соотношению

H[t, x₀(t), u₀(t), ƛ(t)]=max_uϵU H[t, x₀(t), u, ƛ(t)]

●●●

Практическое применение принципа Понтрягина отличается от применения принципа Вейерштрасса. Это связано с тем, что количество неизвестных в системе больше чем количество уравнений. Поэтому поступаем следующим образом:

Строим функцию Û = arg max_uϵU H(t, x, u, λ), далее считая t, x, λ фиксированными параметрами. Далее выполняем подстановку U=Û(t, x, λ) в две группы уравнений Эйлера(из теоремы) и исключаем лишние переменные. Далее, решая краевую задачу с указанными краевыми условиями, находим оптимальное движение x₀(t) и функцию ƛ, а потом подставляем в Û, находим оптимальное управление U₀(t)= Û[t, x₀(t), ƛ(t)]. Поэтому принцип Понтрягина является более общим.