36. Задача Больца о поиске оптимального управления. Необходимые условия экстремума.

Будем рассматривать мат модель объекта управления в виде системы (1): ; (1) причем не фиксированы, 2-ды непр дифф по совокупности аргументов. Координаты граничных точек будем обозначать . Причем точка полностью свободна, а левая граничная точка скользит по гладкой кривой , которая задана, т.е. на левой границе задано условие (2)

В качестве множества допустимых управлений будем рассматривать:

Введем в рассмотрение функционал Больца, характеризующий качество процессов управления в данной задаче: (3)

Где - дважды непр дифф по совокупности аргументов. Функция зависит от 2n + 2 переменных. – от 2n + 1 переменных.

;

Существо задачи Больца состоит в поиске оптимального управления и соответствующего ему , а также моментов начала и конца , которые с учетом поставленной цели управления и допустимого множества управлений будет обеспечивать min функционала Больца.

Необходимое условия:

В этом необходимом условии линейно зависят от диференциала или приращения однако эта зависимость имеет чисто инструментальный характер, принятый только при выводе, объективно этой зависимости нет, т.к. мы произвольно распоряжаемся управлением и вариацией граничных точек. Т.е. это условие в действительности должно выполняться для и непрерывно диференцируемой функции с достаточно малыми по модулю значениями на отрезке В свою очередь для выполнения равенства =0 в нем при указанных малых вериациях необходимо и достаточно, чтобы обратились в 0 множители при под интегралом.

Т.е. мы приходим к окончательной форме необходимого условия экстремума в след. Виде:

Каноническая форма необходимых условий экстремума это то же Необходимое условие экстремума (1), только с условием, что . Это эквивалент системы диф. Ур-ний Эйлера (т.е. его часть, т.к. m ур-ний). Т.е. с условием (3) это просто новая форма необходимых условий, полученная с учетом специфики задачи Больца.

40. Принцип Вейерштрасса. Игольчатая вариация управления. Формулировка и схема доказательства основной теоремы.

Игольчатая вариация (иголка Вейерштрасса):

Рассмотрим и функционал .

Ограничения на управление: введем , которое замкнуто и ограниченно. Будем требовать

Множество управлений , удовлетворяющих и таких, что при данном управлении объект переходит из A в B, и B удовлетворяют Φ(t,x)=0, будем обозначать U и назовем его допустимым множеством.

Рассмотрим F(ϒ) – веществ. и непр. диф. при ϒ . Пусть она достигает абсолютного минимального значения в ϒ=0. Тогда .

Введем однопараметрические семейства: так, что:

Тогда I в 0 примет минимальное значение. Поэтому

z

Введем параметризацию так:

,

т.е. подобно иголкам Вейерштрасса

После преобразований получаем теорему:

Принцип Вейерштрасса:

Если управление и движение является оптимальным в рамках поставленной задачи, то найдется n-мерная векторная функция , которая совместно с и удовлетворяет СДУ Эйлера:

где

в том и только том случае, если n-мерные точки , являются внутренними для U. При этом функция Гамильтона на оптимальном управлении достигает своего максимального значения:

Если решение не известно заранее, то их ищут среди решений уравнения Эйлера. Если решение не единственно, то дополнительно используют условие максимума Гамильтона.