33. Два пути решения простейшей задачи поиска оптимального программного управления и ее сведение к вариационной задаче на условный экстремум.

Для построения необходимых условий экстремума в рамках сформированной задачи Лагранжа, как это обсуждалось может быть использованы 2 подхода.

1. Исключение из функционала зависимых переменных в силу системы (1)

2. Привлечение методов множителей Лагранжа.

Рассмотрим последовательно 2 этих подхода.

1. Очевидно, что по отношению к системе (1) независимые переменные служат компонента упр-ния, а завис. комп. вект. Х.

Очевидно, что если бы можно было аналитически записать выражение соответствующее упр-ю, то функционеал (4) можно было бы представить в виде . Данному подходу препятствует невозможность аналитически решить с истему (1). Однако есть частные ситуации, которые довольно широко применяются в которых 1-ый подход применим. В частности рассмотрим систему (1), которая линейна по состоянию.

A(t) матрица (n x n)

С учетом заданного начального условия можно записать частные решения системы (3) с помощью ф. Коши для заданных начальных условий. Правда надо в начале найти ФМ решений с\с (ФМ – нормирована) (по крайней мере).

Преобразованный функционал (2) =>

• Задача сводится к сужению функционала:

U(t)

2 подход: применение МНП.

Для функционала (3) :





 (4)

Получившееся с\с-му перепишем в следующем виде

Сформулированное начальное условие экстремума по отношению к с\с (5):

Если оптимальное управление и соответствующее ему оптимальное движение обеспечиваем min ПЗОПУ, то найдутся такие n-мерная векторная функция , которая совместно с и удовлетворяет с\с (5).

Если указанные функции ихсходно неизвестны, то для их пак-ка используется с\с (5), которую можно решить с учетом граничных условий.

С\с (5) состоит из 2n диф. Ур-ий и еще m конечных уравнений.

Аналитически такая с\с не решается. Решение может исходить только численным методом.

Рассмотрим (?) о канонической форме с\с диф. Ур-ий. Для перехода необходимо ввести функцию Гамильтона по отношению к функции L:

С\с (6) – эквивалентная форма записи (5) представленная в канонической форме.

3-я группа уравнений (6) – равенство grad H.

В соответствии с 3-ей группой уравнений в канонической форме (6) можно утверждать, что для точка является стационарной точкой функции Гамильтона: .

35. Постановка задачи Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимое условие экстремума по параметру ε .

Будем рассматривать мат модель объекта управления в виде системы (1): ; (1) причем не фиксированы, 2-ды непр дифф по совокупности аргументов. Координаты граничных точек будем обозначать . Причем точка полностью свободна, а левая граничная точка скользит по гладкой кривой , которая задана, т.е. на левой границе задано условие (2)

В качестве множества допустимых управлений будем рассматривать:

Введем в рассмотрение функционал Больца, характеризующий качество процессов управления в данной задаче: (3)

Где - дважды непр дифф по совокупности аргументов. Функция зависит от 2n + 2 переменных. – от 2n + 1 переменных.

;

Существо задачи Больца состоит в поиске оптимального управления и соответствующего ему , а также моментов начала и конца , которые с учетом поставленной цели управления и допустимого множества управлений будет обеспечивать min функционала Больца.

Будем считать, что нам известны , , (т.е. оптимальное решение)

Будем считать, что на указанных функциях достигается слабый относительный экстремум функционала (3).

Поставим своей задачей вывод необходимых условий, которым удовлетворяют указанные вект функции и числа (цель всего параграфа).

Общая идея вывода, предложенная Зубовым основывается на том методе, который был изложен в главе 4. Т.е. на ряду с известными вект функциями вводятся в рассмотрение однопараметрические семейства управлений , движений , и две функции , где - параметр, который достаточно мал по модулю.

Способ введения этих семейств и функций вообще говоря безразличен, однако эти семейства должны удовлетворять:

1. функции должны быть непр дифф по , где ]

2. казанное семейство и функции должны быть введены таким образом, чтобы:

;

Иными словами известное оптимальное управление и движение входит в состав указанного семейства при . А функции - дают момент начала и конца процесса.

3. Чтобы движения и управления из однопараметрических семейств удовлетворяют (1), т.е. чтобы выполнялось (5)

;

(6)

4. Для указанных семейств и функций должны следующие производные:

; ; ; ;

С учетом вышесказанного вводим следующие обозначения:

- вариация управления объекта (1)

На указанных семействах управлений и движений и с учетом функции функционал (3) превращается в функцию одной переменной параметра .

Очевидно, что при обозначении мы находимся на оптимальном управлении и оптимальном движении, с учетом опт значений абсцисс граничных точек и поэтому принимает значение . А раз это так, то в точке функция имеет локальный минимум. выполняется (причем

Далее в конспекте получили представление для первого дифференциала функции