34.Теория сложения и умножения вероятностей.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем  .

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двухнесовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

.

Если случайные события   образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и Bназываются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

.

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событийА и В вычисляется по формуле:

.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий  , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Если события   имеют одинаковую вероятность  , то формула принимает простой вид:

.

36. Закон распределение дискретной случайной велечины.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ ... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

Х	x1	x2	…	xn
р	p1	p2	…	pn

 Эта таблица называется рядом распределения.

37. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей. В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

Свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин:

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.    Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

   Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

Дискретная случайная величина - это случайная величина, принимающая значения из конечного или счётного множества. Закон распределения дискретной случайной величины задаётся чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т. е. таблицей

в которой - расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины , а - отвечающие этим значениям вероятности. Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечным.

Наиболее употребительной числовой характеристикой центра группирования значений случайной величины является математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число равное средневзвешенному значению случайной величины с весами-вероятностями.