21) Метод замены переменной для неопределенного интеграла.

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

Пример 1.

Вычислить:

Решение.

Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид :

25.Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла

y=f(x) [a;b]

«Кси» (ξ) — буква греческого алфавита.

Ξ ξ:€ [ x _i-1 ; x _i ] , где i=1,2…n

Y

F(ξ3)

F(ξ2)

F(ξ1)

X₀ X1 X2 Xn X

ξ1 ξ 2 ξ3

Сумма вида

n

∑ i=1

f(ξ_k) · Δx_k , - интегральная сумма y=f(x) на отрезке [a;b]

к аждое слагаемое в интегральной сумме

f(ξ_k) · Δx_k  равно площади в прямоугольного со сторонами f(ξ_k) и Δx_k  наибольший из отрезков [ x _i-x ; x_i ]

о бозначим max x вся интегральная сумма будет равна

n

S= ∑ S_i

i=1

Если существует конечный предел интегральной суммы при мах х à 0,

не зависящий от способа разбиения отрезка [a;b] и выбора точек ξi, то этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b]

n

∑ i=1

Функции y=f(x) называется подынтегральной функцией. Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования

26 Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функцияf(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел |f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_kвзять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.