14. Асимптоты кривых. Правило нахождение асимптот

Асимптота- прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского.

Различают вертикальные и горизонтальные асимптоты.

Правило нахождения асимптот:

1. Для нахождения вертикальных асимптот найти значения х=с, для которых при ,

2. Для нахождения наклонных асимптот надо проверить, что существуют пределы

Уравнение вертикальной асимптоты х=с, уравнение наклонной асимптоты y= kx+b

Для горизонтальной асимптоты k=0 уравнение имеет вид y=b

15.Схема исследования ф-ции и построение графика Пусть дана функция  . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения  . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений .

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси  ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента   к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

4). Если область определения   вклоючает в себя лучи вида   или  , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при   или   соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью   (если  ). Для этого нужно вычислить значение  . Найти также точки пересечения графика с осью  , для чего найти корни уравнения   (или убедиться в отсутствии корней).

6). Найти интервалы монотонности функции   (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной  .

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной  . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После этого можно построить график!

16 Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Говорят, что функция   , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство   .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции   на отрезке   :

1. найти  ;

2. найти точки, в которых   или   не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка  ;

3. вычислить значения функции   в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции   на отрезке   , которые можно обозначить так:  .

Если поставлена задача найти   для непрерывной на   функции   , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка   .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции  на промежутке   полезны два утверждения:

1. если функция   имеет в промежутке Х только одну точку экстремума  , причем это точка максимума, то   - наибольшее значение функции на промежутке Х;

2. если функция   имеет в промежутке Х только одну точку экстремума  , причем это точка минимума, то   - наименьшее значение функции на промежуткеХ