1. Достаточное условие возрастания и убывания функции.

   Теорема. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. e. f' (x) ≥ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и диффе­ренцируема в промежутке (a, b), причём f' (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

   Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [a, b]. Придадим аргументу x при­ращение  : и рассмотрим отношение  .

   Так как f(x) — функция возрастающая, то   при   и   при  .

   В обоих случаях  , а следовательно,  , т. е. f’(x)≥0, что и требовалось доказать. (Если бы было f' (x)< 0, то при достаточно малых значениях  : отношение (1) было бы от­рицательным, что противоречит соотношению (2).)

   Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f ' (x) > 0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).

   Рассмотрим два любых значения х₁ и х₂, х₁ < х₂, принадлежащих отрезку [a, b].

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:        

   По условию f’( )>0, следовательно, f(x2)-f(x1)>0, а это и значит, что f(x) - возрастающая функция.

   Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно.

   Если f(x) убывает на отрезке [a,b], то f(x)^,0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает

 

на отрезке [a, b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [a, b] и дифференцируема всюду на (a, b).)

10. Понятие дифференциала

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

(6) или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину .

1 2. Вогнутость, выпуклость, точки перегиба

y y y

x x x

вогнутость выпуклость точка перегиба

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Для нахождения промежутков вогнутой, выпуклости и точек перегиба используются свойства второй производной f’(x) функции y=f(x)

Обозначения второй производной: y’’, f’’(x)

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Теорема: пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f’’(a)=0 или f’’(a) не существует и при переходе через точку х=а производная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=a есть точка перегиба

Правило для нахождения точек перегиба:

1. Определить точки в которых f’’(x)=0 или не существует

2. Исследовать изменение знака f’’(x) при переходе через найденные значения х: если f’’(x) меняет знак, то точка перегиба существует, если f’’(x) не меняется знак, то точка перегиба не существует.