1 Вопрос

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ееаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции называется такое число  , что функцию в окрестности   можно представить в виде

если   существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции   в точке   называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции   в точке 

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

2 .Билет

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где   - угол наклона секущей AB.  Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.  Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  xнеограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.  Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной

3. Механический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение

Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t₀) до t₀) + Δt перемещение точки равно х (t₀) + Δt) — х (t₀)) = Δх, а ее средняя скорость такова:  При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t₀))—x (t₀)+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt. Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью v (t₀) материальной точки в момент времени to. Итак,  при 

Но по определению производной  при 

Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом  

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t₁; t₂) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:

Коротко говорят: производная от скорости по времени есть

ускорение.

4.Основные правила дифференцирования.

5 Таблица производных.

6. Производная сложно ф-ции.

производная суммы равна сумме производных ( (a+b)' = a' + b' ) , производная сложной функции равна производной внешней функции умноженную на производную внутренней функции ( (f(g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x) ). То есть в данном случае (2sin2x+2cos2x)' = (2sin2x)' + (2cos2x)' = 2(sin2x)' + 2(cos2x)' = 2*2*cos2x - 2*2*sin2x = 4cos2x - 4sin2x

7.Произодная неявной ф-ции

Функция заданна неявно ,если она определяется уравнением ,неразрешенным относительно Х и y.в общем виде неявная функция f(Х,У)=0.чтобы найти производную неявной функции нужно продифференцировать обе части равенства по Х и У и выразить по У’

Пример

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1. Решение. Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию): Если y = 1, то из исходного уравнения находим Подставим в уравнение (1) значения x = −1 и y = 1. В результате получаем Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1.

8.  Дифференциалом функции   (обозначается через   ) называется следующее выражение:

где dx -- дифференциал x при условии, что функция имеет производную.

9.

свойства дифференциала

Основные дифференциалы

differencial.jpg ¬

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const).

4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой differ_chastnogo.jpg ¬

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Билет 11

условия возрастания (убывания) функции на промежутке