30. Экстремумы функции нескольких переменных. Понятие о векторе градиента функции двух переменных.

Определение. Точка называется точкой макс (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , .

Теорема.Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Теорема.Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

Определение. Производной по направлению функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е. Определение.Градиентом функции называется вектор с координатами .

Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке , величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Пример. Найти критические (экстремальные) точки функции двух переменных .

Найдем частные производные функции : , . Найдем критические точки функции из системы уравнений , , , , , , , .

Н айдем частные производные второго порядка: , , . Проверим выполнение достаточного условия экстремума: . Так как , , то точка есть точка минимума.

Пример.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Найдем частные производные , : , . Значения частных производных в точке равны , . Градиент функции в точке равен .

Так как , то , , то производная по направлению равна .

31. Понятие первообразной, основные свойства.

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .Например, является первообразной для функции , так как .

По геометрическому смыслу производной есть угловой коэффициент касательно к кривой в

точке с абсциссой . Геометрически найти первообразную для - значит найти такую кривую , что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке равен значению заданной функции в этой точке (рис. 1).

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции , и вообще , где - некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично в общем случае, если - некоторая первообразная для , то поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для .

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая , удовлетворяющая условию , то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой ) (рис. 1).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида все первообразные для функции . Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если и - первообразные для функции на промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство .

Поскольку , то по следствию из теоремы Лагранжа, найдется такое число , что или .

Из данной теоремы следует, что если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение. Таким образом , где - некоторая первообразная для , - произвольное постоянна

Отметит, что в определении неопределенного интеграла не исключается, что сама, возможно, является функцией некоторой переменной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, так как дифференцировать следует лишь по переменной .

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

По определению дифференциала и свойству 1 имеем .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать и на основании дифференциал неопределенного интеграл , откуда .

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .