- •По курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •Красноярск 2012
- •Нахождение числовых характеристик выборки.
- •Графическое представление выборки.
- •4.Статистическое оценивание параметров.
- •5. Интервальное оценивание параметров.
- •6.Задание: проверка гипотез:
- •Принятие статистического решения.
Нахождение числовых характеристик выборки.
Выборочная средняя
= 1.3247
Выборочная дисперсия – характеризует отклонение чисел из выборки от среднего.
= 20.6864
Исправленная выборочная дисперсия – более точная характеристика отклонения
= 20.8342
Среднеквадратическое отклонение
= 4.5482
Исправленное среднеквадратическое отклонение
= 4.5644
Выборочные начальные моменты порядка 2,3,4
= 22.4413
= 107.4486
= 1741.7
Выборочные центральные моменты порядка 3,4
= 22.9129
= 1399.4
Выборочный коэффициент асимметрии – характеризует симмеирию графика распределения.
= 0.2435
Выборочный коэффициент эксцесса – характеризует форму графика распределения
= 0.2701
Мода – наиболее вероятное значение случайной веичины.
Mo = 2,24
Медиана – делит область случайных чисел на два интервала, вероятность попадания в каждый из которых равна 0.5.
Me =1,3542
Графическое представление выборки.
Таблица частот группировки выборки
4.Статистическое оценивание параметров.
Получив числовые характеристики из нашей выборки, мы должны оценить, подходят ли они для описания реальной случайной величины, выборку из значений которой мы по предположению взяли.
Получение оценок параметров методом моментов.
Приравняем выборочные и теоретические моменты для получения оценки.
Начальный момент порядка 1: Mx
Выборочный начальный момент порядка 1: xср
Mx xср
a xср
â xср – оценка мат.ожидания
Центральный момент порядка 2: Dx
Выборочный центральный момент порядка 2: S2
Dx S2
2 S2
2 S2 – оценка дисперсии
Получение оценок параметров методом максимального правдоподобия
Найдем оценку параметров a , σ нормального распределения N(a, σ)
Необходимо найти максимум функции L(x) где х=(х1, х2…хn ), n – объем выборки.
Решаем систему уравнений
подставим во 2-ое уравнение вместо а - и решаем его относительно σ
Убедимся, что точка
Составим матрицу вторых производных
и проверим отрицательную определенность матрицы А в точке
следовательно, функция L(х) имеет максимум, то есть получили оценки:
Исследование свойств полученных оценок
Несмещенность
Оценка несмещенная, если Мθ = θ
Оценка мат.ожидания: â = xср
Проверка: Мâ = Мxср = Мξ = а. Несмещенная.
Оценка дисперсии: 2 = S2
Проверка:
где
оценка смещена
оценка асимптотически несмещена
Вводят исправленную дисперсию, которая является несмещенной оценкой .
Состоятельность
Оценка =g(x1,…,xn) состоятельная, если .
Проверка оценки мат.ожидания:
Применим неравенство Чебышева
оценка параметра а состоятельная.
Проверка оценки дисперсии:
оценка S2 параметра σ2 состоятельная
Эффективность
Оценка эффективна, если Dθ = 1/I ,где I – информационное кол-во Фишера.
Проверка оценки мат.ожидания:
оценка мат.ожидания эффективна
Проверка оценки дисперсии:
Оценка дисперсии 2 = S2 смещена, поэтому неэффективна. Проверим несмещенную оценку 2 = S2исп
- верно оценка эффективна
Оптимальность
Если оценка эффективна, то она – оптимальна.
Оценка мат.ожидания оптимальна.
Оценка дисперсии S2 неоптимальна.
Оценка дисперсии S2исп оптимальна.
Нормальность(принадлежность нормальному закону)
Проверка оценки мат.ожидания:
Оценка мат.ожидания нормальна
Проверка оценки дисперсии:
Используем ЦПТ.
Если случайные величины 1, 2, …,n независимы, одинаково распределены и имеют конечные мат.ожидания и дисперсии, то
при n → ∞