Нечіткі відношення
Якщо U –декартів добуток n універсальних множин U1,..., Un, то n-арне нечітке відношення R в U визначається як нечітка підмножина універсальної множини U. Як і в (3.20), R можна представити у вигляді об’єднання складових його нечітких одноточкових множин R (u1, ..., un ) / (u1,...,un ), тобто
(3.52)
де
— функція належності нечіткої
множини R.
Поширеними прикладами бінарних
нечітких відношень є багато
більше ніж, подібний
до, має
відношення, близько
до і так далі. Наприклад,
якщо
то відношення близько
до можна визначити
наступним чином
близько до
(3.53)
де α –
масштабний коефіцієнт. Аналогічно, якщо
то
відношення багато
більше ніж можна
визначити матрицею відношення
R |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0.3 |
0.8 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0.3 |
0.8 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0.3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(3.54)
( i , j ) –й елемент якої є значення R (u1, u2 ) для i-го значення u1 та j–го значення u2 .
Якщо R — відношення U →∨ (або, що те саме, відношення в U∨), а S — відношення ∨→W, то композицією R та S є нечітке відношення R ◦ S і визначається формулою 1)
(3.55)
Якщо U, V та W — скінченні множини, то матриця відношення R ◦ S є максимальний добуток 2) матриць відношень R та S. Сказане можна проілюструвати таким прикладом
(3.56)
3.5 Проекції та циліндричні нечіткі множини
Якщо R
є п-арним
нечітким відношенням в U1
...
Un,
то його проекція
(тінь) на
є k–арне
нечітке відношення Rq
в U,
яке визначається наступним чином (пор.
з 2.12)
на
1) Вираз (3.55) визначає max min – композицію R та S; аналогічно визначається max – композиція, тільки в ній замість операції мінімізації проводиться арифметичне множення. Детальніше ці композиції розглядаються в роботі [4].
2) В максмінному добутку матриць замість операцій додавання та множення використовуються операції та відповідно.
,
(3.57)
де q
— послідовність індексів
;
q’ — доповнення q;
,
де верхня грань береться по
значеннях всіх тих uj,
які входять в
.
Слід відзначити, що якщо R
— звичайне (не нечітке) відношення, то
(3.57) зводиться до (2.9).
Приклад 3.10 Для нечіткого відношення, яке визначається матрицею відношення (3.54), маємо
Зрозуміло, що різні нечіткі
відношення в U1
...
Un
можуть мати ідентичні
проекції на
.
Разом з тим, для даного
нечіткого відношення Rq
в
існує єдине найбільше 1)
в U1
...
Un
, проекцією якого на
є Rq
. Із (3.57) випливає, що функція належності
відношення
має вигляд
(3.58)
1)
Тобто відношення, яке містить всі інші
відношення, проекції яких на
дорівнюють Rq.
при цьому слід врахувати, що рівність
(3.58) виконується для всіх
таких, що і1-й, ..., іК-й
аргументи
дорівнюють відповідно першому, другому,
..., k-му аргументу
.
Звідси випливає, що значення функції в
точці
дорівнює значенню цієї функції в точці
,
як тільки
.
Виходячи з цього, називатимемо відношення циліндричним продовженням відношення Rq, причому саме Rq є основою відношення (див. рисунок 3.2).
Припустимо, що
R є п-арним відношенням в
,
— його проекція на
,
а
— циліндричне продовження відношення
.
Рисунок 3.2 R1
–
основа циліндричної множини
Оскільки — найбільше відношення в , проекція якого дорівнює , то задовольняє відношенню вкладеності
(3.59)
для всіх q і, відповідно,
(3.60)
для довільних
(послідовностей індексів із (1, ..., п)).
Зокрема, якщо взяти
,
то вираз (3.60) набуде вигляду
,
(3.61)
де
— проекції R на
відповідно, а
— їхні циліндричні продовження. Але із
означення декартового добутку (див.(3.45))
випливає, що
,
(3.62)
звідки випливає
Теорема 3.1 Якщо R є п-арне нечітке відношення в і — його проекції на , то (див. рисунок 3.3)
(3.63)
З допомогою поняття циліндричного
продовження можна дати інтуїтивну
інтерпретацію композиції нечітких
відношень. Припустимо, що R
та S —
бінарні нечіткі відношення в
та
відповідно. Нехай
та
— циліндричні продовження R
та S в
.
Тоді з означення композиції
(див.(3.55)) випливає, що
на
. (3.64)
Якщо R та S такі, що
на
на
,
(3.65)
то
стає з’єднанням R
та S.
Основну властивість з’єднання R
та S
можна сформулювати наступним чином.
Теорема 3.2 Якщо R та S — нечіткі відношення в та відповідно, а — з’єднання R та S, то
на
,
(3.66)
на
.
(3.67)
Таким чином, R та S можна відновити, знаючи з’єднання R та S.
Доведення
Нехай
та
означають функції належності нечітких
відношень R
та S
відповідно. Тоді праві чистини виразів
(3.66) та (3.67) можна записати у вигляді
,
(3.68)
,
(3.69)
На основі дистрибутивності та комутативності операцій V та (3.68) і (3.69) можна переписати у вигляді
,
(3.70)
.
(3.71)
Рисунок 3.3 Декартів добуток та переріз циліндричних множин
Більше того, з означення з’єднання випливає рівність (3.65), отже
(3.72)
З цієї рівності та означення операції V отримуємо
,
(3.73)
.
(3.74)
Значить,
,
(3.75)
,
(3.76)
що і означає виконання (3.66) та (3.77). Теорема доведена.
Основна властивість проекцій, яка нам знадобиться в §4, наступна.
Теорема 3.3 Якщо R — нормальне відношення (див.(3.23)), то і кожна з його проекцій — нормальне відношення.
Доведення
Нехай R
є п-арне
відношення в
,
і нехай
— його проекція (тінь) на
,
де
.
Оскільки R
нормальне, то, згідно (3.23), маємо
,
(3.77)
або скорочено
.
З іншого боку, згідно означення (див.(3.57)) маємо
,
або
.
Значить, висота дорівнює
.
(3.78)
Теорема доведена.