3.2 Множини рівня нечіткої підмножини універсальної множини

Множиною α-рівня нечіткої множини А є множина (в звичайному розумінні А_α) всіх таких елементів універсальної множини U, ступінь належності яких нечіткій множині А не менший за α:

. (3.27)

Нечітку множину А можна наступним чином розкласти по її множинах рівня ²⁾ :

, (3.28)

або

, (3.29)

¹⁾ Тобто нечіткої підмножини з функцією належності, яка приймає значення 0 або 1.

²⁾ Детальніше розклад (3.28) – (3.29) та його застосування розглядається в роботах [3], [4].

де — добуток числа на множину (в розумінні (3.39)), а — знак об’єднання множин по від 0 до 1.

Розклад (3.28) або (3.29) можна розглядати як результат групування членів виразу (3.5) по підмножинах, кожна з яких відповідає певній множині рівня. Припустимо, наприклад, що нечітка множина А має вигляд

(3.30)

Тоді, використовуючи (3.17), А можна представити наступним чином

або

, (3.31)

тобто в вигляді (3.29) з множинами рівня (див.(3.27))

,

,

, (3.32)

,

.

Як буде показано в наступних параграфах, розклад по множинах рівня в комбінації з принципом узагальнення зручний для узагальнення різних понять теорії звичайних множин на нечіткі множини. Таке узагальнення лежить в основі багатьох з наведених нижче означень.

3.3 Операції над нечіткими множинами

Наведемо деякі з основних операцій, які можна здійснювати над нечіткими множинами.

1. Доповнення нечіткої множини А позначається символом (або інколи А’) і визначається наступним чином

. (3.33)

Операція доповнення відповідає логічному запереченню. Наприклад, якщо А — назва нечіткої множини, то “не А” розуміється як (див. приклад 3.7).

Об’єднання нечітких множин А та В позначається А+В (або, більш звично, ) та визначається наступним чином

. (3.34)

2. Об’єднання відповідає логічній зв’язці “або”. Наприклад, якщо А та В — назви нечітких множин, то запис “А або В” розуміється як А+В.

3. Переріз А та В позначається та визначається наступним чином

. (3.35)

Переріз відповідає логічній зв’язці “і”, тобто

. (3.36)

Зауваження 3.1 Слід мати на увазі, що

та

— не єдині операції, з допомогою яких можна визначити операції об’єднання та перерізу (це питання детальніше розглядається в [5] та [6]). В зв’язку з цим важливо відзначити, що якщо операція «і» визначається з допомогою операції тіп, як в (3.36), то вона є жорсткою в тому розумінні, що в ній недостатньо враховуються функції належності обох множин ¹⁾.

В протилежність цьому операція “і”, яка визначається з допомогою арифметичного добутку, як в (3.37), є “м’якою”. Яке з цих двох, а можливо, і інших означень найкраще підходить, залежить від змісту, який вкладається в цю операцію в кожному конкретному випадку.

4. Добуток А і В позначається АВ та визначається формулою

. (3.37)

Таким чином, ми можемо визначити будь-яку нечітку множину , де — додатне число, наступним чином

. (3.38)

Аналогічно, якщо — будь-яке невід’ємне число, таке, що , то

. (3.39)

¹⁾ Крайнім випадком такого означення є переріз нечітких множин А та В, таких, що , тобто .

При цьому для всіх , тобто функція належності множини В фактично не приймає участі в цьому означенні.

Частковими випадками операції піднесення в степінь (див.(3.38)) є операція концентрування

, (3.40)

та операція розтягу

. (3.41)

Як буде показано в §6, операції концентрування та розтягу корисні в представленні лінгвістичних невизначеностей.

Приклад 3.7 Якщо

,

, (3.42)

,

то

,

,

,

,

, (3.43)

,

,

.

5. Якщо А₁, ..., А_п — нечіткі підмножини універсальної множини U, а — невід’ємні вагові коефіцієнти, сума яких дорівнює 1, то випуклою комбінацією нечітких множин А₁, ..., А_п називається нечітка множина А з функцією належності виду

, (3.44)

де знак “+” означає арифметичне додавання. Поняття випуклої комбінації корисне в представленні таких лінгвістичних невизначеностей, як істотно, типово і т.д. [7].

6. Нехай А₁, ..., А_п — нечіткі підмножини універсальних множин відповідно. Декартів добуток цих підмножин позначається і визначається як нечітка підмножина множини з функцією належності

. (3.45)

Таким чином (див.(3.52)),

(3.46)

Приклад 3.8 Якщо ,

та , то

(3.47)

7.Оператор збільшення нечіткості використовується зазвичай для перетворення звичайної (не нечіткої) множини в нечітку або для збільшення нечіткості нечіткої множини. Наприклад, результатом дії оператора збільшення нечіткості F на нечітку підмножину А множини U є нечітка підмножина F(А; К) виду

, (3.48)

де нечітка множина К(и) є ядром оператора F, тобто результатом дії оператора F на одноточкову множину :

; (3.49)

— добуток (в розумінні означення (3.39)) числа та нечіткої множини , а — знак об’єднання сімейства нечітких множин . По суті, вираз (3.48) аналогічний інтегральному представленню лінійного оператора, в якому виконує роль імпульсної перехідної функції.

Приклад 3.9 Нехай U, A та визначаються наступним чином

U = 1 + 2 + 3 + 4,

A = 0.8/1 + 0.6/2, (3.50)

K (1) = 1/1 + 0.4/2,

K (2) = 1/2 + 0.4/1 + 0.4/3.

Тоді

F (A; K) = 0.8 (1/1 + 0.4/2) + 0.6 (1/2 + 0.4/1 + 0.4/3) =

= 0.8/1 + 0.6/2 + 0.24/3 (3.51)

Операція збільшення нечіткості виконує важливу роль у визначенні таких лінгвістичних невизначеностей, як більш-менш, злегка, дещо, багато і т.д. Наприклад, якщо клас додатних чисел позначити символами додатній, тоді словосполучення дещо додатній є назвою нечіткої підмножини множини дійсних чисел, функція належності якої має вигляд, наведений на рисунку 3.1.

В цьому випадку нечітке поняття дещо є оператором збільшення нечіткості, який перетворює нечітку множину додатній в не чітку множину дещо додатній.

Рисунок 3.1 Функція належності значень додатній та дещо додатній

Але не завжди можна виразити результат дії оператора збільшення нечіткості в формі (3.48), причому оператор дещо якраз і представляє такий випадок. Більш детальне обговорення цього та інших питань, пов’язаних з цим оператором, можна знайти в [7].