§ 2. Алгебраические операции над тензорами

Определения. Суммой тензоров и одного и того же типа (p, q) называется объект U, который в каждом базисе

, (8.4)

линейного пространства задаётся совокупностью чисел

= + .

Как видим, операция сложения тензоров определяется привычным образом: при сложении тензоров складываются их соответствующие компоненты.

Точно так же при умножении тензора на число все его компоненты умножаются на это число.

Тензорным произведением тензоров типа (p, q) и типа (r, s) называется объект = U, который в каждом базисе линейного пространства задаётся совокупностью чисел

= .

Запишем, для примера, тензорное произведение тензоров типа (2, 1) и типа (1, 1). Если , а , то оба этих тензора имеют тип (3, 2), причем , а . Из этих формул видно, что произведение тензоров свойством коммутативности не обладает.

Следующая операция определяется только для тензоров смешанного типа. Свертыванием (или сверткой) тензора по данным верхнему и нижнему индексам называется приравнивание этих индексов. В результате свертывания тензора его компоненты теряют два индекса – нижний и верхний, так как по ним проводится суммирование. Например, свернем тензор по первому верхнему и последнему нижнему индексам. Получим , где

.

Или, например, при свертывании тензора по второму верхнему и первому нижнему индексам получаем объект , где .

Взаимным свертыванием называется композиция двух операций: тензорного произведения и свёртывания, причём один из приравниваемых индексов принадлежит первому тензору, а второй – второму. В результате взаимного свертывания тензоров типа (p, q) и типа (r, s) получим объект, который в каждом базисе линейного пространства задаётся совокупностью чисел. Например, при взаимном свёртывании тензоров типа (3, 2) и типа (2, 1) по третьему верхнему индексу первого тензора и нижнему индексу второго получаем объект , причем .

Заметим, что операции тензорного произведения, свертывания и взаимного свертывания можно определить не только для тензоров, но и для любых объектов, которые задаются в каждом базисе пространства совокупностью некоторых компонент.

Перестановка индексов – операция, в результате которой тензор переходит в некоторый объект, который задается таким же количеством компонент, зависящих от тех же индексов. Например, при перестановке первого и третьего верхних индексов тензор переходит в объект , где . Перестановка индексов определяется либо для пары верхних, либо для пары нижних индексов.

Операция симметрирования по паре верхних или по паре нижних индексов ставит в соответствие тензору объект, который в каждом базисе линейного пространства задается таким же количеством компонент, что и . Если при симметрировании по двум первым верхним индексам тензор переходит в некоторый объект , то

.

Точно так же вводится и операция альтернирования: при альтернировании, опять же по паре первых верхних индексов, тензор переходит в некоторый объект , который в каждом базисе линейного пространства задается таким же количеством компонент, причем

.

Аналогично определяется симметрирование и альтернирование и по другим парам верхних либо нижних индексов. Очевидно,

.

Индексы, по которым проводится симметрирование, выделяются круглыми скобками, а те, по которым проводится альтернирование – квадратными. Если же эти индексы не соседние, то не участвующие в операции индексы выделяются вертикальными чертами. Например, запись означает, что проведено симметрирование по второму и третьему верхним индексам, а запись – что проведено альтернирование по первому и четвертому нижним индексам.

Все вышеприведенные операции над тензорами будем называть алгебраическими.

Теорема 8. 1 (прямой тензорный признак). Объект, полученный в результате применения к тензорам алгебраических операций, также является тензором.