§ 8. Разложение евклидового пространства в прямую сумму подпространств
Пусть
Е
– некоторое евклидово пространство,
тогда Е
– линейное пространство, и пусть
– подпространство этого линейного
пространства. В подпространстве
автоматически определяется операция
скалярного произведения:
.
Очевидно, все аксиомы скалярного
произведения выполняются, значит,
становится евклидовым пространством.
Таким образом, любое подпространство
евклидового пространства также является
евклидовым пространством.
Определение. Пусть Е – евклидово пространство, – его подпространство. Ортогональным дополнением к подпространству называется подмножество пространства Е
,
которое состоит из векторов пространства Е, ортогональных всем векторам подпространства .
Теорема
6.6. Пусть
– евклидово пространство,
– его подпространство. Тогда
также является подпространством
,
причем, если
– конечномерное, то
(6.17)
►Докажем вначале, что
– подпространство
.
Во-первых,
,
значит,
.
Кроме того,
.
Таким образом, на основании теоремы 3.4, – подпространство пространства .
Пусть
теперь
– конечномерное подпространство
пространства
,
причем
и
(в этих случаях равенство (6.17), очевидно,
выполняется). Обозначим
и зададим в
какой-либо ортонормированный базис
.
(6.18)
Выберем
произвольный вектор
евклидова
пространства
и обозначим
.
Положим
,
.
Покажем, что каждый из векторов (6.18)
ортогонален
.
Действительно,
при
.
Поэтому
ортогонален и произвольному вектору
подпространства
.
Таким образом,
,
причем
,
а
,
откуда вытекает, что
Остается
показать, что сумма прямая. В самом деле,
пусть
.
Тогда
и
.
Значит,
,
следовательно,
.
Таким образом,
,
и поэтому
◄
§ 9. Изоморфизм евклидовых пространств
Определение.
Изоморфизмом
евклидовых пространств
называется взаимно однозначный линейный
оператор
,
сохраняющий скалярное произведение,
т.е. удовлетворяющий условию
.
(6.19)
Таким образом, изоморфизм евклидовых пространств – в первую очередь изоморфизм линейных пространств, и поэтому если евклидовы пространства изоморфны, то они либо оба действительные, либо оба комплексные и имеют одинаковые размерности.
Теорема 6.7. Все -мерные действительные евклидовы пространства изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма действительное евклидово пространство.
Упражнение. Докажите эту теорему по аналогии с соответствующей теоремой для линейных пространств.
Такое же утверждение справедливо и для комплексных евклидовых пространств.