7.2. Доверительное оценивание

Пусть выборка из распределения случайной величины с теоретической функцией распределения , где ‑ неизвестный параметр.

Определение. Доверительным интервалом надежности называется интервал , который накрывает неизвестное значение параметра с вероятностью, не меньшей , т.е.

. (7.9)

Вероятность называется также доверительной вероятностью, ее значения обычно выбирают близкими к единице: 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.

1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)

Пусть – выборка из распределения , где a – неизвестное математическое ожидание, а ‑ известная дисперсия.

Доверительный интервал для параметра имеет вид

, (7.10)

где – аргумент функции Лапласа , при котором . Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 1.

2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)

Пусть – выборка из распределения , где a – неизвестное математическое ожидание, ‑ неизвестная дисперсия.

Доверительный интервал для параметра имеет вид

. (7.11)

Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 5 по заданным и .

3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения

Пусть – выборка из распределения , где ‑ неизвестная дисперсия.

Доверительный интервал для параметра имеет вид

, при ,

, при , (7.12)

где – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 6 по заданным и .

3. Вариационные ряды и их характеристики. Доверительные интервалы.

1. Дан точечный вариационный ряд. Определить выборочные характеристики, построить полигон частот, ЭФР.

   а)		2	3	5	6	б)		15	20	25	30	35
   		10	15	5	20			10	15	30	20	25

2. Дан интервальный вариационный ряд. Определить выборочные характеристики, построить гистограмму частот, ЭФР.

а)

	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35
	2	4	8	4	2

б)

	2-5	5-8	8-11	11-14
	6	10	4	5

в)

	1-5	5-9	9-13	13-17	17-21
	10	20	50	12	8

3.([5],502) Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0.99 неизвестного математического ожидания нормально распеределенного признака генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки : а) , , ; б) , , .

4. .([5],507 ) Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0.925 точность оценки математического ожидания по выборочной средней равна 0.2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности .

5. .([5],511) По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и несмещенное среднее квадратическое отклонение . Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0.999.

6. .([5],513) По данным объема из генеральной совокупности нормально распределенного признака найдено несмещенное («исправленное») среднее квадратическое отклонение . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0.999, если: а) , ; б) , .

7. Среднее значение дальности до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, м. Средняя квадратическая ошибка прибора м. Найти с надежностью доверительный интервал для оценки истинного значения измеряемой величины.

8. В качестве оценки расстояния до навигационного знака принимают среднее арифметическое результатов независимых измерений расстояния дальномерами. Измерения не содержат систематической ошибки, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением м. Сколько надо иметь дальномеров, чтобы абсолютная величина ошибки при определении дальности до навигационного знака с вероятностью 0.9 не превышала 15 м.?