Функции нескольких переменных.

Объем кругового цилиндра вычисляется по формуле V=π*R²*H. Это функция от двух переменных R и H. Если рассматриваются переменные x1,x2, то мы должны знать какие значения принимают пары (x1,x2). Множество этих пар будет областью изменения переменных x1,x2. Переменная z с областью изменения Z называется Функцией независимых переменных x и y на множестве М, если каждой паре (x,y) их значений из М по некоторому правилу ставим в соответствие одно определенное значение z(x,y). Это определение можно распространить на многозначную функцию. Множество М-область определения функции x,y аргументы функции. Функциональная зависимость z=z(x,y) или z=f(x,y).

Арифметическое n-мерное пространство.

Перейдем к функции с n – независимыми переменными, когда n≥3. Остановимся на системах совместных значениях этих переменных n=3 (x,y,z) может быть истолковано как точка пространства. А множество таких точек – тело геометрическое. При n>3 возможно геометрической интерпретации нет. Чтобы распространить геометрические методы на функции больше числа переменных. Введем понятие n-мерного пространства. Назовем n-мерной точкой систему из n действительных чисел. M(x₁, x₂,…, x_n). Множество любых n-мерных точек составляют n-мерное пространство. Если имеет 2 точки M(x₁, x₂,…, x_n) и M’(x₁, x₂,…, x_n), то расстояния между этими точками вычислим MM’=√(∑(k=1, n)(x_k-x_k’)²).

Примеры областей в n-мерном пространстве. 1) множество точек M(x₁, x₂,…, x_n) координаты которых независимы друг от друга и удовлетворяют неравенству. Множество таких точек a₁≤x₁≤b₁, a₂≤x₂≤b₂,…,a_n≤x_n≤b_n. Называется n-мерным прямоугольным паралепипедом и обозначается [a₁,b₁; a₂,b₂;…; a_n,b_n] при n=2 прямоугольник, при n=3 прямоугольный паралепипед. Если в написанном соотношении исключим равенство то есть a₁<x₁<b₁, a₂<x₂<b₂,…, a_n<x_n<b_n, получим