- •Часть 1
- •Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
- •Пусть заданы точки м1(x1,y1,z1),m2(x2,y2,z2) и вектор.
- •Пусть заданы два вектора и, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки м(х, у,z), принадлежащей плоскости, векторыдолжны быть компланарны.
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Связь сферической системы координат с
- •Собственные значения и собственные векторы
- •Приведение квадратичных форм к каноническому
- •Бесконечно большие функции и их связь с
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда
Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
= cos
Свойства скалярного произведения:
= 2;
= 0, если или = 0 или = 0.
= ;
(+) = + ;
(m) = (m) = m();
Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то
= xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если
10- 5+ 6- 3 = 10,
т.к. .
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
= 6 + 8 – 6 = 8:
.
cos =
Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)(5 - 6), если
15- 18- 10+ 12 = 15
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)
= 12 + 20 - 15 =17 :
.
cos =
Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)
.
Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если
()() =
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) , где - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или.
Свойства векторного произведения векторов:
1) ;
2) , если или= 0 или= 0;
3) (m)=(m) =m();
4) (+ ) = + ;
5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то
=
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и.
Пример. Найти векторное произведение векторов и
.
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая может найти скалярное и векторное произведения двух векторов. Для запуска программы дважды щелкните на значке:
В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмитеEnter. После получения скалярного произведения нажмите Enter еще раз – будет получено векторное произведение.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример. Доказать, что векторы ,икомпланарны.
, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
(ед2).
Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанным произведением векторов ,иназывается число, равное скалярному произведению векторана вектор, равный векторному произведению векторови.
Обозначается или (,,).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,и.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а)хоть один из векторов равен нулю;
б)два из векторов коллинеарны;
в)векторы компланарны.
2)
3)
4)
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами ,и, равен
6)Если ,, то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов:
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов:
Объем пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = (ед2)
Т.к. V = ; (ед)
Уравнение поверхности в пространстве.
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.