Математические формулы и методы их применения

Отношения между объектами..........................................

- 16 -

Прямые второго порядка.....................................................

- 17 -

Окружность..............................................................................

- 17 -

Эллипс..........................................................................................

- 17 -

Гипербола...................................................................................

- 17 -

Парабола....................................................................................

- 18 -

Системы координат..............................................................

- 18 -

Приложения...............................................................................

- 18 -

Аналитическая геометрия (R3)...............................................

- 19 -

Плоскость..................................................................................

- 19 -

Прямая........................................................................................

- 19 -

Расстояния................................................................................

- 19 -

Вектор.........................................................................................

- 20 -

Отношения между объектами..........................................

- 20 -

Приложения...............................................................................

- 21 -

Матрицы..........................................................................................

- 22 -

Операции над матрицами...................................................

- 22 -

Свойства определителей.....................................................

- 22 -

Операции над определителями..........................................

- 23 -

Обратная матрица................................................................

- 23 -

Производные функций..................................................................

- 24 -

Определение производной.....................................................

- 24 -

Таблица производных.............................................................

- 24 -

Правила дифференцирования.............................................

- 25 -

Логарифмическая производная..........................................

- 25 -

Параметрические функции.................................................

- 26 -

Приложения...............................................................................

- 26 -

Пределы.............................................................................................

- 27 -

Свойства пределов..................................................................

- 27 -

Замечательные (классические) пределы ........................

- 27 -

Эквивалентность бесконечно-малых..............................

- 28 -

Сравнение бесконечно-малых..............................................

- 28 -

Способы раскрытия неопределенностей.......................

- 28 -

Исследование графика функции...............................................

- 29 -

Дифференциальное исчисление.................................................

- 30 -

Основные понятия..................................................................

- 30 -

Интегралы.......................................................................................

- 31 -

Таблица интегралов..............................................................

- 31 -

Основные правила...................................................................

- 32 -

Подстановки Эйлера..............................................................

- 33 -

Универсальная тригонометрическая подстановка..

- 34 -

Метод неопределённых коэффициентов........................

- 34 -

Андрей Ивашов

- 58 -

·

am

= am-n , a ¹ 0 ;

an

· (a ×b )m = a m ×bm ;

·

æ a öm

=

am

ç

÷

b

m , b ¹ 0 ;

è b ø

·

(am )n = amn ;

· a-m =

1

, a ¹ 0 .

am

·

n

a

=

n a

, b ¹ 0 ;

b

n

b

n

= (n

)m

m

·

am

a

= a n ;

a

a

·

=

m

(основное свойство дробей);

b

b

m

Андрей Ивашов

- 3 -

Греческий алфавит

Буквы

Названия

Буквы

Названия

Αα

альфа

Νν

ню (ни)

Ββ

бета

Ξξ

кси

Γγ

Οο

гамма

омикрон

δ

Ππ

дельта

пи

Εε

эпсилон

Ρρ

ро

Ζζ

Σσ (ς )

дзета

сигма

Ηη

Ττ

эта

тау

Θϑ (θ )

ϒυ

тэта

ипсилон

Ιι

Φϕ

иота

фи

Κκ

Χχ

каппа

хи

Λλ

Ψψ

лямбда (ламбда)

пси

Μμ

Ωω

мю (ми)

омега

Латинский алфавит

Буквы

Названия

Буквы

Названия

Aa

а

Nn

эн

Bb

бе

Oo

о

Cc

це

Pp

пэ

Dd

де

Qq

ку

Ee

е

Rr

эр

Ff

эф

Ss

эс

Gg

же (ге)

Tt

тэ

Hh

аш (ха)

Uu

у

Ii

и

Vv

ве

Jj

жи (йот)

Ww

дубль-ве

Kk

ка

Xx

икс

Ll

эль

Yy

игрек

Mm

эм

Zz

зет

Тригонометрия

Основные понятия

o

α o

o

1o

∙

α

= 180o π

(1

=

180o π ≈ 0,017453 радиана );

α

o

1

o

o

∙

α = π

180

(1 радиан = π

180

≈ 57 17′44,81′′ ).

Таблица значений тригонометрических функций

0

π

π

π

π

π

3π

6

4

3

2

2

0o

30o

45o

60o

90o

180o

270o

sin a

0

1

2

3

1

0

−1

2

2

2

cos a

1

3

2

1

0

−1

0

2

2

2

tg a

0

3

1

3

−

0

−

3

ctg a

−

3

1

3

0

−

0

3

sec a

1

2

3

2

2

−

−1

−

3

cosec a

−

2

2

2

3

1

−

−1

3

Формулы приведения

π −a

π+a

π−a

π +a

3π −a

3π

+a

2

2

2

2

sin b

cosa

cosa

sina

−sina

−cosa

−cosa

cosb

sina

−sina

−cosa

−cosa

−sina

sina

tgb

ctga

−ctga

−tga

tga

ctga

−ctga

ctgb

tga

−tga

−ctga

ctga

tga

−tga

Знаки

тригонометрических функций

sin a ;

+

+

cos a ;

−

+

tg a ;

−

+

cosec a .

−

−

sec a .

−

+

ctg a .

+

−

Обозначение

Название

log

Логарифм;

ln

Натуральный логарифм (Непера);

lg

Десятичный логарифм (Брига);

e( )

exp

Экспонента;

sin

Синус;

cos

Косинус;

tg

tan

Тангенс;

ctg

cot

Котангенс;

sec

Секанс;

cosec

csc

Косеканс;

arcsin

sin−1

Арксинус (обратный [инверсный] си-

asin

нус);

arccos

cos−1

Арккосинус (обратный [инверсный]

acos

косинус);

arctg

tan−1

Арктангенс (обратный [инверсный]

atan

тангенс);

arcctg

cot−1

Арккотангенс (обратный [инверсный]

acot

котангенс);

arcsec

sec−1

Арксеканс (обратный [инверсный]

asec

секанс);

arccosec

csc

−1

Арккосеканс (обратный [инверсный]

косеканс);

acsc

sh

sinh

Гиперболический синус;

ch

cosh

Гиперболический косинус;

th

tanh

Гиперболический тангенс;

cth

coth

Гиперболический котангенс;

arsh

sh−1

Гиперболический арксинус (аэросинус

– обратый гиперболический синус);

arch

ch−1

Гиперболический арккосинус (аэроко-

синус – обратный [инверсный] гипер-

болический косинус);

arth

th−1

Гиперболический арктангенс (аэро-

тангенс – обратный [инверсный] ги-

перболический тангенс);

Андрей Ивашов

- 50 -

Андрей Ивашов

- 48 -

∙

sin a

= ±

1− cos a

;

2

2

cos a

∙

= ±

1+ cos a

;

2

2

tg a = ±

∙

1− cos a

;

2

1+ cos a

ctg a

.

∙

= ±

1

+ cosa

2

1

− cos a

2tg a

∙

sin a =

2

;

1+ tg2 a

2

1− tg2 a

∙

cos a =

2

;

1+ tg2

a

2

2 tg

a

∙

tg a =

2

;

1− tg2 a

2

1− tg2 a

∙

ctg a =

2

.

2 tg a

2

∙

arcsin a = −arcsin (−a) =

π

− arccos a = arctg

a

;

2

1

− a2

∙

arccos a = π − arccos(−a) =

π

−arcsin a = arcctg

a

;

2

1

− a2

∙

arctg a = −arctg(−a) = π

− arcctg a = arcsin

a

;

2

1

+ a2

∙

arcctg a = π − arcctg(−a) =

π

− arcctg a = arccos

a

.

2

1

+ a2

Андрей Ивашов

- 13 -

Двойные неравенства

(

)

(

)

ï

x

< f

x

ìg

· g (x) < f (x) < u (x) Þ ïí f

(x) < u (x) .

î

Степенные неравенства

éìg(x) ³ 0

ï

êí

·

êîï f (x) > g

2n (x)

, n Î N ;

2n f (x) > g(x) Û ê

êìg(x) < 0

ê

í

ëî f (x) ³ 0

ì f (x) ³ 0

·

ï

, nÎ N .

2n f (x) < g(x) Û íg(x) > 0

ï

2n

(x)

î f (x) < g

Логарифмические неравенства

ïìloga u (x) > loga v

(x)

ìu

(x) > v(x)

·

ï

>1

;

í

Û ía

ïa >1

ïv

(x) > 0

î

î

(x) < v(x)

ïìloga u (x) > loga v

(x)

ìu

·

ï

< a < 1 .

í

Û í0

ï0 < a < 1

ïu

(x) > 0

î

î

Тригонометрические неравенства

·

sin x > a; x Î(arcsin a + 2π n; π - arcsin a + 2πn), n ÎZ

(

a

<1 );

·

sin x < a; x Î(-π - arcsin a + 2π n;arcsin a + 2πn), n ÎZ

(

a

<1 );

·

cos x > a; xÎ(-arccosa + 2π n; arccos a + 2πn), nÎZ

(

a

<1 );

·

cos x < a; x Î(arccosa + 2π n; 2π - arccos a + 2πn), nÎZ

(

a

<1 );

·

loga ab = b,

a ¹1; a > 0 .

Свойства логарифмов

·

loga

(bc) = loga

b

+ loga

c

,

a ¹ 1; a > 0; bc > 0 ;

·

æ b ö

= loga

b

- loga

c

,

a ¹1; a > 0; bc > 0 ;

loga ç

÷

è c ø

ìclog

a

b,

c = (2n -1);

c

·

loga b

= í

b

,

c = 2n;

nÎ Z; a ¹1; a > 0; b > 0 ;

ïcloga

î

ì1

loga

b,

c = (2n -1);

ï

·

log c b =

ï

n ÎZ; a ¹ 1; a > 0; b > 0; c ¹ 0 ;

íc

a

ï1

log

b,

c = 2n;

ï

a

îc

(формула пере-

logc b

хода к другому

·

loga b = logc a

,

a ¹ 1; a > 0; b > 0; c ¹1; c > 0

основанию);

·

loga b =

1

,

a ¹1; a > 0; b ¹1; b > 0 ;

logb a

·

cloga b = bloga c ,

a ¹1; a > 0; b > 0; c > 0 ;

ïìloga u (x) = loga v(x)

ìu (x) > 0

·

ï

í

Û ív (x) > 0 .

ïa ¹ 1; a > 0

ïu (x) = v

(x)

î

î

Дифференциальные уравнения

·

X (x)Y( y)dx + X1(x)Y1( y)dy = 0

- дифференциальное уравне-

ние с разделяющимися переменными, где

ò

X (x)

dx +

ò

Y ( y)

dy = C

- общий интеграл;

X1 (x)

Y1 ( y)

·

¢¢

¢

+q(x) y =0 - линейное однородное дифференци-

y

+ p(x) y

альное уравнение, где

y = C1y1 + C2 y2

- общее

решение ( y1

и y2 - линейно-

независимые частные решения);

·

¢¢

¢

y

+ py +qy = f (x) - линейное неоднородное дифференци-

альное уравнения, где

y =

+ z - общее решение

y

- общее решение однородного уравнения:

y

é(k1 ¹ k2 )ÎR Þ

= C1ek1x + C2ek2x ;

y

ê

k2 + pk +q = 0Þ êê(k1

= k2 )ÎR Þ y = (C1 +C2x)ek1x;

êìk1 = a +ib

ax

(bx) + C2 sin(bx)).

êík = a -ib Þ

y = e (C1 cos

ëî 1

Андрей Ивашов

- 44 -

·

k1

= -

1

,

A1A2 = B1B2 (условия ортогональности прямых);

k2

·

tgα = ±

k1 - k2

(угол между прямыми);

1+ k1 × k2

x1

y1

1

(условие расположения трёх точек

·

x2

y2

1

= 0

A(x1; y1) , A(x2 ; y2 ) и A(x3; y3 ) на одной

x3

y3

1

прямой).

·

ìx = r ×cost;

(параметрическое уравнение окружности).

í

îy = r ×sin t.

· (x - x0 )

2

+ (y - y0 )

2

=1

(уравнение эллипса со смещён-

ным центром).

a2

b2

·

ìx = a ×cost;

(параметрическое уравнение эллипса);

í

îy = b×sin t.

Андрей Ивашов

- 17 -

éD > 0

Þ два различных действительных корня;

· D = b

2

ê

Þ два одинаковых действительных корня;