Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математические формулы и методы их применения

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
284.26 Кб
Скачать

Математические формулы и методы их применения

08.10.05 г.

Андрей Ивашов

Отношения между объектами..........................................

- 16 -

Прямые второго порядка.....................................................

- 17 -

Окружность..............................................................................

 

- 17 -

Эллипс..........................................................................................

 

- 17 -

Гипербола...................................................................................

 

- 17 -

Парабола....................................................................................

 

- 18 -

Системы координат..............................................................

 

- 18 -

Приложения...............................................................................

 

- 18 -

Аналитическая геометрия (R3)...............................................

- 19 -

Плоскость..................................................................................

 

- 19 -

Прямая........................................................................................

 

- 19 -

Расстояния................................................................................

 

- 19 -

Вектор.........................................................................................

 

- 20 -

Отношения между объектами..........................................

- 20 -

Приложения...............................................................................

 

- 21 -

Матрицы..........................................................................................

 

- 22 -

Операции над матрицами...................................................

- 22 -

Свойства определителей.....................................................

- 22 -

Операции над определителями..........................................

- 23 -

Обратная матрица................................................................

 

- 23 -

Производные функций..................................................................

 

- 24 -

Определение производной.....................................................

- 24 -

Таблица производных.............................................................

 

- 24 -

Правила дифференцирования.............................................

- 25 -

Логарифмическая производная..........................................

- 25 -

Параметрические функции.................................................

- 26 -

Приложения...............................................................................

 

- 26 -

Пределы.............................................................................................

 

- 27 -

Свойства пределов..................................................................

 

- 27 -

Замечательные (классические) пределы ........................

- 27 -

Эквивалентность бесконечно-малых..............................

- 28 -

Сравнение бесконечно-малых..............................................

- 28 -

Способы раскрытия неопределенностей.......................

- 28 -

Исследование графика функции...............................................

- 29 -

Дифференциальное исчисление.................................................

- 30 -

Основные понятия..................................................................

 

- 30 -

Интегралы.......................................................................................

 

- 31 -

Таблица интегралов..............................................................

 

- 31 -

Основные правила...................................................................

 

- 32 -

Подстановки Эйлера..............................................................

 

- 33 -

Универсальная тригонометрическая подстановка..

- 34 -

Метод неопределённых коэффициентов........................

- 34 -

Андрей Ивашов

- 58 -

 

Тождественные преобразования

Свойства степеней

· a0 = 1, a ¹ 0 ;

·am × an = am+n ;

·

am

= am-n , a ¹ 0 ;

 

an

 

 

 

 

 

· (a ×b )m = a m ×bm ;

·

æ a öm

=

am

ç

÷

b

m , b ¹ 0 ;

 

è b ø

 

 

·

(am )n = amn ;

· a-m =

1

, a ¹ 0 .

am

 

 

 

 

 

Свойства арифметических корней

·nab = na × nb ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

n

a

=

n a

, b ¹ 0 ;

b

n

b

 

n

 

 

= (n

 

)m

m

·

am

a

= a n ;

1

·n m a = n×m a = an×m ;

·n×m am = na = a1n ;

·(na )n = a ;

· 2n a2n = a ;

·2n+1 -a = -2n+1 a .

Свойствадробей

·ab = ba×× mm (основное свойство дробей);

 

a

 

 

a

 

 

·

=

 

m

 

(основное свойство дробей);

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

Андрей Ивашов

- 3 -

Свойствамодулей

 

·

 

a

ì a,

при a ³ 0;

(определение модуля);

 

= í

 

 

 

 

î-a,

при a < 0.

 

·a = -a ;

·a × b = a ×b ;

·

 

 

a

 

=

 

a

 

,

 

b ¹ 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

a

 

n =

 

an

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·a 2n = a2n ;

·a + b ³ a + b .

Андрей Ивашов

- 56 -

Андрей Ивашов

- 5 -

Основные законы

·Pn = n! (перестановки без повторений);

· Pnn1 ,n2 ,...,nm =

 

n!

 

(перестановки с повторениями);

n1

!×n2 !×...× nm !

 

 

·Cnm = æçè mn ö÷ø (сочетания без повторений);

·Cm = æ n + m -1ö (сочетания с повторениями); n ç m ÷

èø

 

m

 

n!

 

·

An

=

 

 

(размещения без повторений);

(n - m)!

·

Anm = nm (размещения с повторениями).

Андрей Ивашов

- 54 -

Андрей Ивашов

- 7 -

Греческий алфавит

 

 

Буквы

Названия

Буквы

Названия

Αα

альфа

Νν

ню (ни)

Ββ

бета

Ξξ

кси

Γγ

 

Οο

 

гамма

омикрон

δ

 

Ππ

 

дельта

пи

Εε

эпсилон

Ρρ

ро

Ζζ

 

Σσ (ς )

 

дзета

сигма

Ηη

 

Ττ

 

эта

тау

Θϑ (θ )

 

ϒυ

 

тэта

ипсилон

Ιι

 

Φϕ

 

иота

фи

Κκ

 

Χχ

 

каппа

хи

Λλ

 

Ψψ

 

лямбда (ламбда)

пси

Μμ

 

Ωω

 

мю (ми)

омега

Латинский алфавит

 

 

Буквы

Названия

Буквы

Названия

Aa

а

Nn

эн

Bb

бе

Oo

о

Cc

це

Pp

пэ

Dd

де

Qq

ку

Ee

е

Rr

эр

Ff

эф

Ss

эс

Gg

же (ге)

Tt

тэ

Hh

аш (ха)

Uu

у

Ii

и

Vv

ве

Jj

жи (йот)

Ww

дубль-ве

Kk

ка

Xx

икс

Ll

эль

Yy

игрек

Mm

эм

Zz

зет

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрия

 

 

Основные понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

α o

 

o

 

1o

 

 

 

 

 

 

α

 

= 180o π

(1

=

180o π ≈ 0,017453 радиана );

 

 

 

 

 

α

 

o

 

 

1

o

o

 

 

 

α = π

180

 

(1 радиан = π

180

57 1744,81′′ ).

 

 

Таблица значений тригонометрических функций

 

 

 

 

 

0

 

π

π

π

π

π

3π

 

 

 

 

 

 

 

6

4

 

3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0o

 

30o

45o

60o

90o

180o

270o

 

sin a

 

 

0

 

 

1

2

 

3

1

0

1

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos a

 

1

 

 

3

2

 

1

0

1

0

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg a

 

 

0

 

 

3

1

 

3

0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg a

 

 

 

3

1

 

3

0

0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sec a

 

1

 

2

3

2

 

2

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosec a

 

 

 

2

2

2

3

1

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы приведения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π a

 

 

 

π+a

 

π−a

 

π +a

 

3π a

 

3π

+a

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

sin b

 

cosa

 

 

 

cosa

 

sina

 

sina

 

cosa

 

cosa

 

cosb

 

sina

 

 

 

sina

 

cosa

 

cosa

 

sina

 

sina

 

tgb

 

ctga

 

 

 

ctga

 

tga

 

tga

 

ctga

 

ctga

 

ctgb

 

tga

 

 

 

tga

 

ctga

 

ctga

 

tga

 

tga

 

Знаки

тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

sin a ;

+

 

+

 

 

cos a ;

 

 

 

+

 

 

tg a ;

 

 

 

+

 

cosec a .

 

 

 

 

sec a .

 

 

 

+

 

 

ctg a .

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Андрей Ивашов

- 52 -

Андрей Ивашов

- 9 -

Математические функции

Обозначение

Название

log

 

 

 

Логарифм;

ln

 

 

 

 

 

 

 

Натуральный логарифм (Непера);

lg

 

 

 

Десятичный логарифм (Брига);

e( )

 

exp

Экспонента;

sin

 

 

 

Синус;

cos

 

 

 

 

 

 

 

Косинус;

tg

 

tan

 

Тангенс;

ctg

 

cot

 

 

 

 

Котангенс;

sec

 

 

 

Секанс;

cosec

 

csc

 

 

 

 

Косеканс;

arcsin

 

sin1

Арксинус (обратный [инверсный] си-

 

asin

нус);

 

 

arccos

 

cos1

Арккосинус (обратный [инверсный]

 

 

acos

косинус);

arctg

 

tan1

Арктангенс (обратный [инверсный]

 

atan

тангенс);

 

 

arcctg

 

cot1

Арккотангенс (обратный [инверсный]

 

 

acot

котангенс);

arcsec

 

sec1

Арксеканс (обратный [инверсный]

 

 

asec

секанс);

arccosec

 

csc

1

Арккосеканс (обратный [инверсный]

 

 

косеканс);

 

 

acsc

sh

 

sinh

Гиперболический синус;

ch

 

cosh

Гиперболический косинус;

th

 

tanh

Гиперболический тангенс;

cth

 

coth

Гиперболический котангенс;

arsh

 

sh1

Гиперболический арксинус (аэросинус

 

обратый гиперболический синус);

 

 

 

 

arch

 

ch1

Гиперболический арккосинус (аэроко-

 

синус обратный [инверсный] гипер-

 

 

 

 

болический косинус);

arth

 

th1

Гиперболический арктангенс (аэро-

 

тангенс обратный [инверсный] ги-

 

 

 

 

перболический тангенс);

Андрей Ивашов

 

- 50 -

Формулы сложения аргументов

·sin(a ± b) = sin a ×cosb ± cos a ×sinb ;

·cos (a ± b) = cos a ×cosb msin a ×sin b ;

·

tg(a ± b) =

tg a ± tg b

;

 

 

 

 

 

1m tg a ×tg b

 

·

ctg(a ± b) = ctg a × ctgb m1

;

 

 

ctg a m ctgb

 

·sh (a ± b) = sh achb ± ch a sh b ;

·ch (a ± b) = ch a ch b ± sh a sh b .

Формулы кратных аргументов

· sin 2a = 2sin a × cos a =

 

 

2 tg a

;

1

+ tg2 a

 

 

·cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2

·

tg 2a =

2tg a

=

2

;

 

ctg a - tg a

 

 

1- tg2 a

 

·

ctg 2a = ctg2 a -1

= ctg a - tg a

 

 

2ctg a

2

 

· sh 2a = 2 ×sh a ×ch a ;

 

· ch 2a = sh2 a + ch2 a ;

 

·

sin3a = 3sin a - 4sin3 a ;

 

·

cos 3a = 4cos3 a - 3cos a ;

 

·

tg3a =

3tg a - tg3 a ;

 

 

 

1- 3tg2 a

 

 

a -1= 1- 2sin2 a ;

;

· ctg3a = ctg3 a -3ctg a . 3ctg2 a -1

Сложение тригонометрических функций

·sin a ± sinb = 2sin a ±2 b ×cos a m2 b ;

·cos a + cosb = 2 cos a +2 b ×cos a -2 b ;

·cos a - cosb = -2sin a +2 b ×sin a -2 b ;

Андрей Ивашов

- 11 -

Приложения

Математические константы

π ≈ 3,141592654 ;

e 2,718281828 (число Непера);

lg e 0,434294481 (модуль перехода);

ln10 2,302585093 (модуль перехода);

i2 = −1 (где i - мнимая единица);

1o 0,017453 радиана (градус);

1 радиан ≈ 57o1744,81′′ (радиан).

Андрей Ивашов

- 48 -

Формулы половинного угла

sin a

= ±

 

1cos a

 

 

;

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

cos a

 

 

 

 

 

 

 

= ±

 

1+ cos a

;

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

tg a = ±

 

 

 

 

1cos a

;

 

 

2

 

1+ cos a

 

 

 

 

ctg a

 

 

 

 

.

= ±

1

+ cosa

 

2

 

1

cos a

 

 

 

Универсальная тригонометрическая подстановка

 

 

 

2tg a

 

 

 

 

sin a =

2

 

 

 

;

1+ tg2 a

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1tg2 a

 

cos a =

 

 

 

2

 

;

1+ tg2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 tg

a

 

 

 

 

 

tg a =

 

2

 

 

;

 

1tg2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1tg2 a

 

ctg a =

 

 

 

2

.

2 tg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Обратные тригонометрические функции

arcsin a = −arcsin (a) =

π

arccos a = arctg

 

 

 

a

 

 

;

 

 

2

 

 

1

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos a = π − arccos(a) =

π

arcsin a = arcctg

 

 

a

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

a2

arctg a = −arctg(a) = π

arcctg a = arcsin

 

 

a

;

 

 

 

 

2

 

 

1

+ a2

 

 

 

 

 

arcctg a = π − arcctg(a) =

π

arcctg a = arccos

 

 

a

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

+ a2

Андрей Ивашов

 

- 13 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение неравенств

Двойные неравенства

(

 

 

)

 

 

(

 

)

 

 

 

 

 

ï

x

< f

x

 

 

 

 

 

ìg

 

 

 

 

 

· g (x) < f (x) < u (x) Þ ïí f

(x) < u (x) .

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степенные неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

éìg(x) ³ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êí

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

êîï f (x) > g

2n (x)

, n Î N ;

2n f (x) > g(x) Û ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êìg(x) < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ëî f (x) ³ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì f (x) ³ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

, nÎ N .

 

 

 

 

 

 

 

2n f (x) < g(x) Û íg(x) > 0

 

 

 

 

 

 

ï

 

2n

(x)

 

 

 

 

 

 

 

î f (x) < g

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмические неравенства

 

ïìloga u (x) > loga v

(x)

ìu

(x) > v(x)

·

ï

 

 

>1

 

 

 

;

í

 

 

 

Û ía

 

 

 

 

 

ïa >1

 

ïv

(x) > 0

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

(x) < v(x)

 

ïìloga u (x) > loga v

(x)

ìu

·

ï

 

< a < 1 .

í

 

 

 

Û í0

 

ï0 < a < 1

 

ïu

(x) > 0

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

sin x > a; x Î(arcsin a + 2π n; π - arcsin a + 2πn), n ÎZ

(

 

a

 

<1 );

 

 

·

sin x < a; x Î(-π - arcsin a + 2π n;arcsin a + 2πn), n ÎZ

(

 

 

 

a

 

<1 );

 

 

·

cos x > a; xÎ(-arccosa + 2π n; arccos a + 2πn), nÎZ

(

 

a

 

<1 );

 

 

·

cos x < a; x Î(arccosa + 2π n; 2π - arccos a + 2πn), nÎZ

 

 

 

(

 

a

 

<1 );

 

 

 

 

 

·tg x > a; xÎ(arctg a +π n; π 2 +π n), nÎ Z ;

·tg x < a; x Î(-π 2 +πn;arctg a +π n), nÎZ ;

·ctg x > a; x Î(π n; arcctg a + πn), nÎZ ;

·ctg x < a; x Î(arcctg a +πn; π + πn), n ÎZ .

Логарифмы

Определение логарифма

· loga b = c Û ac = b, a ¹ 1; a > 0; b > 0 .

Основные логарифмические тождества

·aloga b = b, a ¹ 1; a > 0; b > 0 ;

·

loga ab = b,

a ¹1; a > 0 .

 

 

Свойства логарифмов

 

 

·

loga

(bc) = loga

 

b

 

+ loga

 

c

 

,

a ¹ 1; a > 0; bc > 0 ;

 

 

 

 

·

 

æ b ö

= loga

 

 

b

 

- loga

 

c

 

,

a ¹1; a > 0; bc > 0 ;

 

loga ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

è c ø

ìclog

a

 

 

 

b,

c = (2n -1);

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

·

loga b

 

= í

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

,

c = 2n;

nÎ Z; a ¹1; a > 0; b > 0 ;

 

 

 

 

 

 

ïcloga

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì1

loga

 

 

 

b,

c = (2n -1);

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

log c b =

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ÎZ; a ¹ 1; a > 0; b > 0; c ¹ 0 ;

íc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

ï1

log

 

 

 

 

 

b,

c = 2n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(формула пере-

 

 

 

 

 

logc b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хода к другому

·

loga b = logc a

,

 

 

 

 

 

a ¹ 1; a > 0; b > 0; c ¹1; c > 0

основанию);

·

loga b =

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ¹1; a > 0; b ¹1; b > 0 ;

 

logb a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

cloga b = bloga c ,

 

a ¹1; a > 0; b > 0; c > 0 ;

 

·loga b ×logb a = 1, a ¹ 1; a > 0; b ¹ 1; b > 0 ;

·log10 b = lg b, b > 0 (десятичный логарифм - Брига);

·loge b = ln b, b > 0 (натуральный логарифм - Непера).

Андрей Ивашов

- 46 -

Андрей Ивашов

- 15 -

·cos x = 0; x = π2 +π n, nÎ Z ;

·cos x = 1; x = 2π n, nÎ Z ;

·cos x = -1; x = π + 2πn, n ÎZ ;

·tg x = 0; x = πn, nÎZ ;

·ctg x = 0; x = π2 + πn, n ÎZ .

Логарифмические уравнения

 

ïìloga u (x) = loga v(x)

ìu (x) > 0

 

·

ï

 

í

Û ív (x) > 0 .

 

ïa ¹ 1; a > 0

ïu (x) = v

(x)

 

î

 

 

î

 

Системы линейных алгебраических уравнений

· A× X = B Þ X = A1 × B, det(A) ¹ 0 (матричный метод);

·x1 = DD1 ; x2 = DD2 ;K xn = DDn ,D = det(A) ¹ 0 (метод Крамера).

Дифференциальные уравнения

 

·

 

X (x)Y( y)dx + X1(x)Y1( y)dy = 0

 

 

- дифференциальное уравне-

 

 

ние с разделяющимися переменными, где

 

 

ò

 

 

X (x)

dx +

ò

Y ( y)

dy = C

- общий интеграл;

 

 

 

 

X1 (x)

 

 

Y1 ( y)

 

 

 

 

 

·

 

 

¢¢

¢

+q(x) y =0 - линейное однородное дифференци-

 

y

+ p(x) y

 

 

альное уравнение, где

 

 

 

 

 

 

 

y = C1y1 + C2 y2

- общее

решение ( y1

и y2 - линейно-

 

 

независимые частные решения);

 

·

 

 

¢¢

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

+ py +qy = f (x) - линейное неоднородное дифференци-

 

 

альное уравнения, где

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

+ z - общее решение

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

- общее решение однородного уравнения:

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é(k1 ¹ k2 )ÎR Þ

 

= C1ek1x + C2ek2x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

k2 + pk +q = 0Þ êê(k1

= k2 )ÎR Þ y = (C1 +C2x)ek1x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êìk1 = a +ib

 

 

 

ax

(bx) + C2 sin(bx)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êík = a -ib Þ

y = e (C1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ëî 1

 

 

 

 

 

 

Андрей Ивашов

 

 

 

 

- 44 -

 

·

k1

= -

1

 

,

A1A2 = B1B2 (условия ортогональности прямых);

 

 

 

 

 

k2

 

 

 

 

·

tgα = ±

 

k1 - k2

(угол между прямыми);

1+ k1 × k2

 

 

 

 

 

 

x1

y1

1

 

(условие расположения трёх точек

 

 

·

x2

y2

1

= 0

A(x1; y1) , A(x2 ; y2 ) и A(x3; y3 ) на одной

 

x3

y3

1

 

прямой).

Прямые второго порядка

·Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (общее уравнение).

Окружность

·R2 = x2 + y2 (характеристическое уравнение);

·R 2 = (x x0 )2 + (y y0 )2 (со смещённым центром);

·

ìx = r ×cost;

(параметрическое уравнение окружности).

í

 

îy = r ×sin t.

 

Эллипс

·F1M + MF2 = 2a (определение эллипса);

·a2 = b2 + c2 (характеристическое уравнение эллипса);

·x2 + y2 =1 (каноническое уравнение эллипса); a2 b2

· (x - x0 )

2

+ (y - y0 )

2

=1

(уравнение эллипса со смещён-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ным центром).

 

a2

 

 

 

b2

 

 

·

ìx = a ×cost;

(параметрическое уравнение эллипса);

í

 

 

 

 

îy = b×sin t.

 

 

 

 

· ε = ca ,0 < ε <1 (эксцентриситет эллипсамера сжатия);

· p = b2 (фокальный параметр эллипса).

2

Гипербола

·F1M - MF2 = 2a (определение гиперболы);

·c2 = a2 + b2 (характеристическое уравнение гиперболы);

Андрей Ивашов

- 17 -

Решение уравнений

Квадратные уравнения

·y = ax2 + bx + c ;

 

 

éD > 0

Þ два различных действительных корня;

· D = b

2

ê

Þ два одинаковых действительных корня;

 

- 4ac, êD = 0

 

 

ê

Þ два сопряжённых комплексных корня.

 

 

ëD < 0

 

(дискриминант квадратного трёхчлена);

 

æ

b ö2

 

D

(выделение полного квадрата -

·

y = a ç x +

 

÷

-

 

канонический вид уравнения);

 

è

2a ø

 

4a

·y = a (x - x1 )(x - x2 ) (разложение на множители);

·

x

= -b ±

D

(общее уравнение нахождения корней);

 

1,2

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(частный случай теоремы

 

ìx1

+ x2 = - p;

 

ì p = b a;

·

 

Виета для нахождения ве-

í

× x2 = q.

, при í

= c a

щественных корней квад-

 

îx1

 

îq

Кубические уравнения

ратного трёхчлена).

 

 

· y = ax3 + bx2 + cx + d ;

 

 

 

 

ìx1

+ x2 + x3 = -p

 

ìp = b a;

(частный случай тео-

 

 

ремы Виета для на-

 

ï

 

 

 

 

ï

 

·

íx1x2 + x2x3 + x3x1

= q ,

при íq = c a; хождения веществен-

 

ï

× x2 × x3 = -r

 

ï

 

ных корней кубическо-

 

îx1

 

îr = d a.

го уравнения);

 

 

 

 

 

 

 

 

·y = ax3 + 3bx2 + 3cx + d ,

 

 

 

 

ì

 

 

 

b

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïz = x +

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

y = z

3

+ 3pz + 2q,

ï

 

-

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

í p =

a

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

ïq = b3

 

-

3bc2

+

 

;

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

î

 

a

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

y = (u3 )2 + 2qu3 - p3,

 

 

 

p

 

 

 

при z = u -

Þ u3 = -q ± q2 + p3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 3 -q + q2 + p3

+ 3 -q -

 

 

 

q2 + p3

(Формула Кардано).

Андрей Ивашов

 

 

 

 

 

- 42 -

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия (R3)

Плоскость

·Ax + By + Cz + D = 0 (каноническое уравнение плоскости);

·A(x - x0 )+ B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 (общее уравнение);

·ax + by + cz = 1

 

x - x1

y - y1

z - z1

 

 

 

·

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

= 0;

 

x3 - x1

y3 - y1

z3 - z1

 

Прямая

 

 

 

 

 

 

·

(x - x0 )

=

(y - y0 )

=

(z - z0 )

m

n

 

 

p

 

 

 

 

 

(уравнение плоскости в отрезках на осях);

x

y

z

1

 

(уравнение

x1

y1

z1

1

 

= 0

плоскости,

x2

y2

z2

1

 

по трём

x3

y3

z3

1

 

точкам).

 

 

(каноническое уравнение прямой);

 

ìx = m×t + x0

 

 

 

 

·

ï

= n

 

×t + y0 (параметрическое уравнение прямой);

íy

 

 

ï

= p

 

×t + z0

 

 

 

 

 

îz

 

 

 

 

 

·

x - x1

=

 

y - y1 =

z - z1

(каноническое уравнение пря-

 

x2 - x1

 

 

 

y2 - y1

 

z2 - z1

мой, по двум точкам);

 

ìx = (x2

- x1 )×t + x1

(параметрическое уравнение

·

ï

 

 

 

 

 

- y1 )×t + y1

í y = ( y2

 

прямой, по двум точкам);

 

ï

= (z2 - z1 )× t + z1

 

 

 

ïz

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

λx2 + x1

 

 

 

 

 

ïxA

=

 

1+ λ

 

 

 

 

 

ï

 

 

λy2 + y1

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

·

íyA

=

 

 

 

 

(деление отрезка в данном отношении).

 

1+ λ

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

= λz2 + z1

 

 

 

 

 

ïzA

 

 

 

 

 

î

 

 

 

1+ λ

 

 

 

 

Расстояния

·d = (xb - xa )2 + ( yb - ya )2 + (zb - za )2 (между точками);

· d =

 

 

Ax0 + By0 + Cz0 + D

 

(от точки до плоскости).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 + B2 + C2

 

 

 

 

 

 

Андрей Ивашов

- 19 -