Математические формулы и методы их применения
.pdfМатематические формулы и методы их применения
08.10.05 г.
Андрей Ивашов
Отношения между объектами.......................................... |
- 16 - |
|
Прямые второго порядка..................................................... |
- 17 - |
|
Окружность.............................................................................. |
|
- 17 - |
Эллипс.......................................................................................... |
|
- 17 - |
Гипербола................................................................................... |
|
- 17 - |
Парабола.................................................................................... |
|
- 18 - |
Системы координат.............................................................. |
|
- 18 - |
Приложения............................................................................... |
|
- 18 - |
Аналитическая геометрия (R3)............................................... |
- 19 - |
|
Плоскость.................................................................................. |
|
- 19 - |
Прямая........................................................................................ |
|
- 19 - |
Расстояния................................................................................ |
|
- 19 - |
Вектор......................................................................................... |
|
- 20 - |
Отношения между объектами.......................................... |
- 20 - |
|
Приложения............................................................................... |
|
- 21 - |
Матрицы.......................................................................................... |
|
- 22 - |
Операции над матрицами................................................... |
- 22 - |
|
Свойства определителей..................................................... |
- 22 - |
|
Операции над определителями.......................................... |
- 23 - |
|
Обратная матрица................................................................ |
|
- 23 - |
Производные функций.................................................................. |
|
- 24 - |
Определение производной..................................................... |
- 24 - |
|
Таблица производных............................................................. |
|
- 24 - |
Правила дифференцирования............................................. |
- 25 - |
|
Логарифмическая производная.......................................... |
- 25 - |
|
Параметрические функции................................................. |
- 26 - |
|
Приложения............................................................................... |
|
- 26 - |
Пределы............................................................................................. |
|
- 27 - |
Свойства пределов.................................................................. |
|
- 27 - |
Замечательные (классические) пределы ........................ |
- 27 - |
|
Эквивалентность бесконечно-малых.............................. |
- 28 - |
|
Сравнение бесконечно-малых.............................................. |
- 28 - |
|
Способы раскрытия неопределенностей....................... |
- 28 - |
|
Исследование графика функции............................................... |
- 29 - |
|
Дифференциальное исчисление................................................. |
- 30 - |
|
Основные понятия.................................................................. |
|
- 30 - |
Интегралы....................................................................................... |
|
- 31 - |
Таблица интегралов.............................................................. |
|
- 31 - |
Основные правила................................................................... |
|
- 32 - |
Подстановки Эйлера.............................................................. |
|
- 33 - |
Универсальная тригонометрическая подстановка.. |
- 34 - |
|
Метод неопределённых коэффициентов........................ |
- 34 - |
|
Андрей Ивашов |
- 58 - |
|
Тождественные преобразования
Свойства степеней
· a0 = 1, a ¹ 0 ;
·am × an = am+n ;
· |
am |
= am-n , a ¹ 0 ; |
|||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
· (a ×b )m = a m ×bm ; |
|||||||
· |
æ a öm |
= |
am |
||||
ç |
÷ |
b |
m , b ¹ 0 ; |
||||
|
è b ø |
|
|
||||
· |
(am )n = amn ; |
||||||
· a-m = |
1 |
, a ¹ 0 . |
|||||
am |
|||||||
|
|
|
|
|
Свойства арифметических корней
·nab = na × nb ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
n |
a |
= |
n a |
, b ¹ 0 ; |
||||
b |
n |
b |
|||||||
|
n |
|
|
= (n |
|
)m |
m |
||
· |
am |
a |
= a n ; |
1
·n m a = n×m a = an×m ;
·n×m am = na = a1n ;
·(na )n = a ;
· 2n a2n = a ;
·2n+1 -a = -2n+1 a .
Свойствадробей
·ab = ba×× mm (основное свойство дробей);
|
a |
|
|
a |
|
|
|
· |
= |
|
m |
|
(основное свойство дробей); |
||
b |
|
b |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
Андрей Ивашов |
- 3 - |
Свойствамодулей |
|
||||
· |
|
a |
ì a, |
при a ³ 0; |
(определение модуля); |
|
= í |
|
|||
|
|
|
î-a, |
при a < 0. |
|
·a = -a ;
·a × b = a ×b ;
· |
|
|
a |
|
= |
|
a |
|
, |
|
b ¹ 0 ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
b |
|
|
|
b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
· |
|
a |
|
n = |
|
an |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
·a 2n = a2n ;
·a + b ³ a + b .
Андрей Ивашов |
- 56 - |
Андрей Ивашов |
- 5 - |
Основные законы
·Pn = n! (перестановки без повторений);
· Pnn1 ,n2 ,...,nm = |
|
n! |
|
(перестановки с повторениями); |
|
n1 |
!×n2 !×...× nm ! |
||||
|
|
·Cnm = æçè mn ö÷ø (сочетания без повторений);
·C−m = æ n + m -1ö (сочетания с повторениями); n ç m ÷
èø
|
m |
|
n! |
|
|
· |
An |
= |
|
|
(размещения без повторений); |
(n - m)! |
|||||
· |
An−m = nm (размещения с повторениями). |
Андрей Ивашов |
- 54 - |
Андрей Ивашов |
- 7 - |
Греческий алфавит |
|
|
|
Буквы |
Названия |
Буквы |
Названия |
Αα |
альфа |
Νν |
ню (ни) |
Ββ |
бета |
Ξξ |
кси |
Γγ |
|
Οο |
|
гамма |
омикрон |
||
δ |
|
Ππ |
|
дельта |
пи |
||
Εε |
эпсилон |
Ρρ |
ро |
Ζζ |
|
Σσ (ς ) |
|
дзета |
сигма |
||
Ηη |
|
Ττ |
|
эта |
тау |
||
Θϑ (θ ) |
|
ϒυ |
|
тэта |
ипсилон |
||
Ιι |
|
Φϕ |
|
иота |
фи |
||
Κκ |
|
Χχ |
|
каппа |
хи |
||
Λλ |
|
Ψψ |
|
лямбда (ламбда) |
пси |
||
Μμ |
|
Ωω |
|
мю (ми) |
омега |
||
Латинский алфавит |
|
|
|
Буквы |
Названия |
Буквы |
Названия |
Aa |
а |
Nn |
эн |
Bb |
бе |
Oo |
о |
Cc |
це |
Pp |
пэ |
Dd |
де |
ку |
|
Ee |
е |
Rr |
эр |
Ff |
эф |
Ss |
эс |
Gg |
же (ге) |
Tt |
тэ |
Hh |
аш (ха) |
Uu |
у |
Ii |
и |
Vv |
ве |
Jj |
жи (йот) |
Ww |
дубль-ве |
Kk |
ка |
Xx |
икс |
Ll |
эль |
Yy |
игрек |
Mm |
эм |
Zz |
зет |
|
|
|
|
|
|
|
Тригонометрия |
|
|
|||||
Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
o |
|
α o |
|
o |
|
1o |
|
|
|
|
|
|
∙ |
α |
|
= 180o π |
(1 |
= |
180o π ≈ 0,017453 радиана ); |
|
|
||||||
|
|
|
α |
|
o |
|
|
1 |
o |
o |
|
|
|
|
∙ |
α = π |
180 |
|
(1 радиан = π |
180 |
≈ 57 17′44,81′′ ). |
|
|
||||||
Таблица значений тригонометрических функций |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
π |
π |
π |
π |
π |
3π |
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
3 |
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0o |
|
30o |
45o |
60o |
90o |
180o |
270o |
||
|
sin a |
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos a |
|
1 |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
0 |
−1 |
0 |
||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg a |
|
|
0 |
|
|
3 |
1 |
|
3 |
− |
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg a |
|
− |
|
|
3 |
1 |
|
3 |
0 |
− |
0 |
||
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sec a |
|
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
2 |
− |
−1 |
− |
||
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosec a |
|
− |
|
|
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
− |
−1 |
||
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −a |
|
|
|
π+a |
|
π−a |
|
π +a |
|
3π −a |
|
3π |
+a |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
sin b |
|
cosa |
|
|
|
cosa |
|
sina |
|
−sina |
|
−cosa |
|
−cosa |
||||||||||
|
cosb |
|
sina |
|
|
|
−sina |
|
−cosa |
|
−cosa |
|
−sina |
|
sina |
||||||||||
|
tgb |
|
ctga |
|
|
|
−ctga |
|
−tga |
|
tga |
|
ctga |
|
−ctga |
||||||||||
|
ctgb |
|
tga |
|
|
|
−tga |
|
−ctga |
|
ctga |
|
tga |
|
−tga |
||||||||||
|
Знаки |
тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin a ; |
+ |
|
+ |
|
|
cos a ; |
|
|
− |
|
+ |
|
|
tg a ; |
|
|
− |
|
+ |
|||||
|
cosec a . |
|
− |
|
− |
|
|
sec a . |
|
|
− |
|
+ |
|
|
ctg a . |
|
|
+ |
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Андрей Ивашов |
- 52 - |
Андрей Ивашов |
- 9 - |
Математические функции
Обозначение |
Название |
|||
log |
|
|
|
Логарифм; |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
Натуральный логарифм (Непера); |
|
lg |
|
|
|
Десятичный логарифм (Брига); |
e( ) |
|
exp |
Экспонента; |
|
sin |
|
|
|
Синус; |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
Косинус; |
|
tg |
|
tan |
|
Тангенс; |
ctg |
|
cot |
|
|
|
|
Котангенс; |
||
sec |
|
|
|
Секанс; |
cosec |
|
csc |
|
|
|
|
Косеканс; |
||
arcsin |
|
sin−1 |
Арксинус (обратный [инверсный] си- |
|
|
asin |
нус); |
||
|
|
|||
arccos |
|
cos−1 |
Арккосинус (обратный [инверсный] |
|
|
|
acos |
косинус); |
|
arctg |
|
tan−1 |
Арктангенс (обратный [инверсный] |
|
|
atan |
тангенс); |
||
|
|
|||
arcctg |
|
cot−1 |
Арккотангенс (обратный [инверсный] |
|
|
|
acot |
котангенс); |
|
arcsec |
|
sec−1 |
Арксеканс (обратный [инверсный] |
|
|
|
asec |
секанс); |
|
arccosec |
|
csc |
−1 |
Арккосеканс (обратный [инверсный] |
|
|
косеканс); |
||
|
|
acsc |
||
sh |
|
sinh |
Гиперболический синус; |
|
ch |
|
cosh |
Гиперболический косинус; |
|
th |
|
tanh |
Гиперболический тангенс; |
|
cth |
|
coth |
Гиперболический котангенс; |
|
arsh |
|
sh−1 |
Гиперболический арксинус (аэросинус |
|
|
– обратый гиперболический синус); |
|||
|
|
|
|
|
arch |
|
ch−1 |
Гиперболический арккосинус (аэроко- |
|
|
синус – обратный [инверсный] гипер- |
|||
|
|
|
|
болический косинус); |
arth |
|
th−1 |
Гиперболический арктангенс (аэро- |
|
|
тангенс – обратный [инверсный] ги- |
|||
|
|
|
|
перболический тангенс); |
Андрей Ивашов |
|
- 50 - |
Формулы сложения аргументов
·sin(a ± b) = sin a ×cosb ± cos a ×sinb ;
·cos (a ± b) = cos a ×cosb msin a ×sin b ;
· |
tg(a ± b) = |
tg a ± tg b |
; |
|
|
|
|||
|
|
1m tg a ×tg b |
|
|
· |
ctg(a ± b) = ctg a × ctgb m1 |
; |
||
|
|
ctg a m ctgb |
|
·sh (a ± b) = sh achb ± ch a sh b ;
·ch (a ± b) = ch a ch b ± sh a sh b .
Формулы кратных аргументов
· sin 2a = 2sin a × cos a = |
|
|
2 tg a |
; |
|
1 |
+ tg2 a |
||||
|
|
·cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2
· |
tg 2a = |
2tg a |
= |
2 |
; |
|
ctg a - tg a |
||||
|
|
1- tg2 a |
|
||
· |
ctg 2a = ctg2 a -1 |
= ctg a - tg a |
|||
|
|
2ctg a |
2 |
|
|
· sh 2a = 2 ×sh a ×ch a ; |
|
||||
· ch 2a = sh2 a + ch2 a ; |
|
||||
· |
sin3a = 3sin a - 4sin3 a ; |
|
|||
· |
cos 3a = 4cos3 a - 3cos a ; |
|
|||
· |
tg3a = |
3tg a - tg3 a ; |
|
||
|
|
1- 3tg2 a |
|
|
a -1= 1- 2sin2 a ;
;
· ctg3a = ctg3 a -3ctg a . 3ctg2 a -1
Сложение тригонометрических функций
·sin a ± sinb = 2sin a ±2 b ×cos a m2 b ;
·cos a + cosb = 2 cos a +2 b ×cos a -2 b ;
·cos a - cosb = -2sin a +2 b ×sin a -2 b ;
Андрей Ивашов |
- 11 - |
Приложения
Математические константы
∙π ≈ 3,141592654 ;
∙e ≈ 2,718281828 (число Непера);
∙lg e ≈ 0,434294481 (модуль перехода);
∙ln10 ≈ 2,302585093 (модуль перехода);
∙i2 = −1 (где i - мнимая единица);
∙1o ≈ 0,017453 радиана (градус);
∙1 радиан ≈ 57o17′44,81′′ (радиан).
Андрей Ивашов |
- 48 - |
Формулы половинного угла
∙ |
sin a |
= ± |
|
1− cos a |
|
|
; |
||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cos a |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
= ± |
|
1+ cos a |
; |
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
tg a = ± |
|
|
|
|
||||
∙ |
1− cos a |
; |
|
||||||
|
2 |
|
1+ cos a |
|
|
|
|||
|
ctg a |
|
|
|
|
. |
|||
∙ |
= ± |
1 |
+ cosa |
||||||
|
2 |
|
1 |
− cos a |
|
|
|
Универсальная тригонометрическая подстановка
|
|
|
2tg a |
|
|
|
|
|||
∙ |
sin a = |
2 |
|
|
|
; |
||||
1+ tg2 a |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
1− tg2 a |
|
||||||
∙ |
cos a = |
|
|
|
2 |
|
; |
|||
1+ tg2 |
a |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
2 tg |
a |
|
|
|
|
|
|
∙ |
tg a = |
|
2 |
|
|
; |
|
|||
1− tg2 a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1− tg2 a |
|
||||||
∙ |
ctg a = |
|
|
|
2 |
. |
||||
2 tg a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Обратные тригонометрические функции
∙ |
arcsin a = −arcsin (−a) = |
π |
− arccos a = arctg |
|
|
|
a |
|
|
; |
|
|
|||
2 |
|
|
1 |
− a2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∙ |
arccos a = π − arccos(−a) = |
π |
−arcsin a = arcctg |
|
|
a |
|
|
; |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
− a2 |
|||||
∙ |
arctg a = −arctg(−a) = π |
− arcctg a = arcsin |
|
|
a |
; |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
1 |
+ a2 |
|
|
|
|
|
|||||
∙ |
arcctg a = π − arcctg(−a) = |
π |
− arcctg a = arccos |
|
|
a |
. |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
+ a2 |
|||||
Андрей Ивашов |
|
- 13 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение неравенств
Двойные неравенства |
( |
|
|
) |
|
|
( |
|
) |
||||||
|
|
|
|
|
ï |
x |
< f |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
ìg |
|
|
|
|
|
|||||
· g (x) < f (x) < u (x) Þ ïí f |
(x) < u (x) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степенные неравенства |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
éìg(x) ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êí |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
· |
|
|
êîï f (x) > g |
2n (x) |
, n Î N ; |
||||||||||
2n f (x) > g(x) Û ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
êìg(x) < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ê |
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ëî f (x) ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ì f (x) ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
, nÎ N . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2n f (x) < g(x) Û íg(x) > 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
|
2n |
(x) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
î f (x) < g |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Логарифмические неравенства |
|||||||||||||||
|
ïìloga u (x) > loga v |
(x) |
ìu |
(x) > v(x) |
|||||||||||
· |
ï |
|
|
>1 |
|
|
|
; |
|||||||
í |
|
|
|
Û ía |
|
|
|
|
|||||||
|
ïa >1 |
|
ïv |
(x) > 0 |
|
|
|
||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
(x) < v(x) |
||||||||
|
ïìloga u (x) > loga v |
(x) |
ìu |
||||||||||||
· |
ï |
|
< a < 1 . |
||||||||||||
í |
|
|
|
Û í0 |
|||||||||||
|
ï0 < a < 1 |
|
ïu |
(x) > 0 |
|
|
|
||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тригонометрические неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
sin x > a; x Î(arcsin a + 2π n; π - arcsin a + 2πn), n ÎZ |
( |
|
a |
|
<1 ); |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
· |
sin x < a; x Î(-π - arcsin a + 2π n;arcsin a + 2πn), n ÎZ |
( |
|
|
|
a |
|
<1 ); |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
· |
cos x > a; xÎ(-arccosa + 2π n; arccos a + 2πn), nÎZ |
( |
|
a |
|
<1 ); |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
· |
cos x < a; x Î(arccosa + 2π n; 2π - arccos a + 2πn), nÎZ |
|
|
|
( |
|
a |
|
<1 ); |
|||||||||
|
|
|
|
|
·tg x > a; xÎ(arctg a +π n; π 2 +π n), nÎ Z ;
·tg x < a; x Î(-π 2 +πn;arctg a +π n), nÎZ ;
·ctg x > a; x Î(π n; arcctg a + πn), nÎZ ;
·ctg x < a; x Î(arcctg a +πn; π + πn), n ÎZ .
Логарифмы
Определение логарифма
· loga b = c Û ac = b, a ¹ 1; a > 0; b > 0 .
Основные логарифмические тождества
·aloga b = b, a ¹ 1; a > 0; b > 0 ;
· |
loga ab = b, |
a ¹1; a > 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Свойства логарифмов |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
· |
loga |
(bc) = loga |
|
b |
|
+ loga |
|
c |
|
, |
a ¹ 1; a > 0; bc > 0 ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
· |
|
æ b ö |
= loga |
|
|
b |
|
- loga |
|
c |
|
, |
a ¹1; a > 0; bc > 0 ; |
|
|||||||||||||||||||
loga ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
è c ø |
ìclog |
a |
|
|
|
b, |
c = (2n -1); |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
· |
loga b |
|
= í |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
, |
c = 2n; |
nÎ Z; a ¹1; a > 0; b > 0 ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ïcloga |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 |
loga |
|
|
|
b, |
c = (2n -1); |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
· |
log c b = |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ÎZ; a ¹ 1; a > 0; b > 0; c ¹ 0 ; |
|||||
íc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
ï1 |
log |
|
|
|
|
|
b, |
c = 2n; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
îc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(формула пере- |
|
|
|
|
|
|
logc b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хода к другому |
||||
· |
loga b = logc a |
, |
|
|
|
|
|
a ¹ 1; a > 0; b > 0; c ¹1; c > 0 |
основанию); |
||||||||||||||||||||||||
· |
loga b = |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ¹1; a > 0; b ¹1; b > 0 ; |
|
||||||||||||||||||
logb a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
· |
cloga b = bloga c , |
|
a ¹1; a > 0; b > 0; c > 0 ; |
|
·loga b ×logb a = 1, a ¹ 1; a > 0; b ¹ 1; b > 0 ;
·log10 b = lg b, b > 0 (десятичный логарифм - Брига);
·loge b = ln b, b > 0 (натуральный логарифм - Непера).
Андрей Ивашов |
- 46 - |
Андрей Ивашов |
- 15 - |
·cos x = 0; x = π2 +π n, nÎ Z ;
·cos x = 1; x = 2π n, nÎ Z ;
·cos x = -1; x = π + 2πn, n ÎZ ;
·tg x = 0; x = πn, nÎZ ;
·ctg x = 0; x = π2 + πn, n ÎZ .
Логарифмические уравнения
|
ïìloga u (x) = loga v(x) |
ìu (x) > 0 |
|
· |
ï |
|
|
í |
Û ív (x) > 0 . |
||
|
ïa ¹ 1; a > 0 |
ïu (x) = v |
(x) |
|
î |
||
|
|
î |
|
Системы линейных алгебраических уравнений
· A× X = B Þ X = A−1 × B, det(A) ¹ 0 (матричный метод);
·x1 = DD1 ; x2 = DD2 ;K xn = DDn ,D = det(A) ¹ 0 (метод Крамера).
Дифференциальные уравнения |
|
|||||||||||||||||
· |
|
X (x)Y( y)dx + X1(x)Y1( y)dy = 0 |
|
|
- дифференциальное уравне- |
|||||||||||||
|
|
ние с разделяющимися переменными, где |
||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
X (x) |
dx + |
ò |
Y ( y) |
dy = C |
- общий интеграл; |
||||||||
|
|
|
|
X1 (x) |
|
|
Y1 ( y) |
|
|
|
|
|
||||||
· |
|
|
¢¢ |
¢ |
+q(x) y =0 - линейное однородное дифференци- |
|||||||||||||
|
y |
+ p(x) y |
||||||||||||||||
|
|
альное уравнение, где |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y = C1y1 + C2 y2 |
- общее |
решение ( y1 |
и y2 - линейно- |
|||||||||||||
|
|
независимые частные решения); |
|
|||||||||||||||
· |
|
|
¢¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
+ py +qy = f (x) - линейное неоднородное дифференци- |
||||||||||||||||
|
|
альное уравнения, где |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y = |
|
+ z - общее решение |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
- общее решение однородного уравнения: |
||||||||||||||||
|
y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é(k1 ¹ k2 )ÎR Þ |
|
= C1ek1x + C2ek2x ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 + pk +q = 0Þ êê(k1 |
= k2 )ÎR Þ y = (C1 +C2x)ek1x; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êìk1 = a +ib |
|
|
|
ax |
(bx) + C2 sin(bx)). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êík = a -ib Þ |
y = e (C1 cos |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëî 1 |
|
|
|
|
|
|
||
Андрей Ивашов |
|
|
|
|
- 44 - |
|
· |
k1 |
= - |
1 |
|
, |
A1A2 = B1B2 (условия ортогональности прямых); |
||
|
|
|||||||
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
· |
tgα = ± |
|
k1 - k2 |
(угол между прямыми); |
||||
1+ k1 × k2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
x1 |
y1 |
1 |
|
(условие расположения трёх точек |
|||
|
|
|||||||
· |
x2 |
y2 |
1 |
= 0 |
A(x1; y1) , A(x2 ; y2 ) и A(x3; y3 ) на одной |
|||
|
x3 |
y3 |
1 |
|
прямой). |
Прямые второго порядка
·Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (общее уравнение).
Окружность
·R2 = x2 + y2 (характеристическое уравнение);
·R 2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (со смещённым центром);
· |
ìx = r ×cost; |
(параметрическое уравнение окружности). |
í |
||
|
îy = r ×sin t. |
|
Эллипс
·F1M + MF2 = 2a (определение эллипса);
·a2 = b2 + c2 (характеристическое уравнение эллипса);
·x2 + y2 =1 (каноническое уравнение эллипса); a2 b2
· (x - x0 ) |
2 |
+ (y - y0 ) |
2 |
=1 |
(уравнение эллипса со смещён- |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным центром). |
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
· |
ìx = a ×cost; |
(параметрическое уравнение эллипса); |
||||||
í |
|
|
|
|||||
|
îy = b×sin t. |
|
|
|
|
· ε = ca ,0 < ε <1 (эксцентриситет эллипса–мера сжатия);
· p = b2 (фокальный параметр эллипса).
2
Гипербола
·F1M - MF2 = 2a (определение гиперболы);
·c2 = a2 + b2 (характеристическое уравнение гиперболы);
Андрей Ивашов |
- 17 - |
Решение уравнений
Квадратные уравнения
·y = ax2 + bx + c ;
|
|
éD > 0 |
Þ два различных действительных корня; |
· D = b |
2 |
ê |
Þ два одинаковых действительных корня; |
|
- 4ac, êD = 0 |
||
|
|
ê |
Þ два сопряжённых комплексных корня. |
|
|
ëD < 0 |
|
(дискриминант квадратного трёхчлена); |
|||||
|
æ |
b ö2 |
|
D |
(выделение полного квадрата - |
|
· |
y = a ç x + |
|
÷ |
- |
|
канонический вид уравнения); |
|
è |
2a ø |
|
4a |
·y = a (x - x1 )(x - x2 ) (разложение на множители);
· |
x |
= -b ± |
D |
(общее уравнение нахождения корней); |
||||
|
1,2 |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(частный случай теоремы |
|||
|
ìx1 |
+ x2 = - p; |
|
ì p = b a; |
||||
· |
|
Виета для нахождения ве- |
||||||
í |
× x2 = q. |
, при í |
= c a |
щественных корней квад- |
||||
|
îx1 |
|
îq |
|||||
Кубические уравнения |
ратного трёхчлена). |
|||||||
|
|
|||||||
· y = ax3 + bx2 + cx + d ; |
|
|
|
|||||
|
ìx1 |
+ x2 + x3 = -p |
|
ìp = b a; |
(частный случай тео- |
|||
|
|
ремы Виета для на- |
||||||
|
ï |
|
|
|
|
ï |
|
|
· |
íx1x2 + x2x3 + x3x1 |
= q , |
при íq = c a; хождения веществен- |
|||||
|
ï |
× x2 × x3 = -r |
|
ï |
|
ных корней кубическо- |
||
|
îx1 |
|
îr = d a. |
го уравнения); |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
·y = ax3 + 3bx2 + 3cx + d ,
|
|
|
|
ì |
|
|
|
b |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ïz = x + |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = z |
3 |
+ 3pz + 2q, |
ï |
|
- |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
í p = |
a |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ï |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
ïq = b3 |
|
- |
3bc2 |
+ |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
a |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|||
y = (u3 )2 + 2qu3 - p3, |
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||||
при z = u - |
Þ u3 = -q ± q2 + p3 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 3 -q + q2 + p3 |
+ 3 -q - |
|
|
|
q2 + p3 |
(Формула Кардано). |
|||||||||||||
Андрей Ивашов |
|
|
|
|
|
- 42 - |
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (R3)
Плоскость
·Ax + By + Cz + D = 0 (каноническое уравнение плоскости);
·A(x - x0 )+ B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 (общее уравнение);
·ax + by + cz = 1
|
x - x1 |
y - y1 |
z - z1 |
|
|||
|
|
||||||
· |
x2 - x1 |
y2 - y1 |
z2 - z1 |
= 0; |
|||
|
x3 - x1 |
y3 - y1 |
z3 - z1 |
|
|||
Прямая |
|
|
|
|
|
|
|
· |
(x - x0 ) |
= |
(y - y0 ) |
= |
(z - z0 ) |
||
m |
n |
|
|
p |
|||
|
|
|
|
|
(уравнение плоскости в отрезках на осях);
x |
y |
z |
1 |
|
(уравнение |
x1 |
y1 |
z1 |
1 |
|
|
= 0 |
плоскости, |
||||
x2 |
y2 |
z2 |
1 |
|
по трём |
x3 |
y3 |
z3 |
1 |
|
точкам). |
|
|
(каноническое уравнение прямой);
|
ìx = m×t + x0 |
|
|
|
|
||||||
· |
ï |
= n |
|
×t + y0 (параметрическое уравнение прямой); |
|||||||
íy |
|
||||||||||
|
ï |
= p |
|
×t + z0 |
|
|
|
|
|||
|
îz |
|
|
|
|
|
|||||
· |
x - x1 |
= |
|
y - y1 = |
z - z1 |
(каноническое уравнение пря- |
|||||
|
x2 - x1 |
|
|
|
y2 - y1 |
|
z2 - z1 |
мой, по двум точкам); |
|||
|
ìx = (x2 |
- x1 )×t + x1 |
(параметрическое уравнение |
||||||||
· |
ï |
|
|
|
|
|
- y1 )×t + y1 |
||||
í y = ( y2 |
|
прямой, по двум точкам); |
|||||||||
|
ï |
= (z2 - z1 )× t + z1 |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
ïz |
|
|||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
λx2 + x1 |
|
|
|
|
|||
|
ïxA |
= |
|
1+ λ |
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
|
λy2 + y1 |
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
||||
· |
íyA |
= |
|
|
|
|
(деление отрезка в данном отношении). |
||||
|
1+ λ |
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
= λz2 + z1 |
|
|
|
|
||||
|
ïzA |
|
|
|
|
||||||
|
î |
|
|
|
1+ λ |
|
|
|
|
Расстояния
·d = (xb - xa )2 + ( yb - ya )2 + (zb - za )2 (между точками);
· d = |
|
|
Ax0 + By0 + Cz0 + D |
|
(от точки до плоскости). |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A2 + B2 + C2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Андрей Ивашов |
- 19 - |