Вектора

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.

Длиной вектора называется длина отрезка.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.

Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Вектор, соединяющий начало одного вектора с концом другого вектора называется суммой этих векторов.

Под разностью векторов a и b понимается вектор c=a-b такой, что b+c=a.

Произведением вектора a на скаляр  называется вектор а, который имеет длину ||*|a|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если >0 и противоположное, если <0.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. a+b=b+a;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. 1(2*a)= 1*2*a;

4. (1+2)*a=1*a+2*a;

5. (a+b)= a+b.

Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.

Проекцией вектора на AB ось l называется положительное число |AB|, если вектор A1B1 и ось l одинаково направлены и отрицательное число, если вектор А1В1 и ось l противоположно направлены.

Св-ва.

1. Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на косинус угла  между вектором и осью, т.е. прla=|a|*cos.

Следствие. Проекция вектора на ось положительна(отрицательна), если вектор образует с осью острый(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Следствие. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3. При умножении вектора а на число  его проекция на ось также умножается на это число.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

a=ax*I+ay*j+az*k. Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax, ay, az называются координатами вектора a, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

|a|=(ax²+ay²+az²), т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

cos²+ cos²+ cos²=1, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Св-ва.

1. ab=ba;

2. (a)b=(ab);

3. a(b+c)=ab+ac;

4. a²=|a|²;

5. если векторы a и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

a*b=axbx+ayby+azbz. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. перпендикулярен векторам а и b;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е. |c|=|a|*|b|*sin, где  угол между векторами а и b;

3. векторы a, b и c образуют правую тройку.

Св-ва.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

2. (axb)=( a)xb=ax(b).

3. Два не нулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

4. (a+b)xc=axc+bxc.

Смешанное произведение представляет собой число.

Св-ва.

1. (axb)c=(bxc)a=(cxa)b.

2. (axb)c=a(bxc).

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. abc=-acb.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов a, b и с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.