- •29. Экстраполяция и интерполяция динамических рядов.
- •30. Аналитические показатели рядов динамики. Методы изучения рядов динамики.
- •1. Основные понятия о рядах динамики
- •2. Виды рядов динамики
- •3. Основные показатели анализа динамических рядов
- •31. Индексный метод анализа, его значение. Виды индексов.
- •Индивидуальные индексы
- •Веса агрегатных индексов цен и физического объема продукции
- •Другие агрегатные индексы
- •32. Индексы переменного, постоянного состава, структурных сдвигов, их взаимосвязь.
- •33. Формы индексов, их взаимосвязь.
- •3. Средние индексы из индивидуальных
- •34. Виды и сущность взаимосвязей социально-экономических явлений.
- •6.1. Причинность, регрессия, корреляция
- •35. Построение уравнения парной регрессии.
- •1.2 Нормальная линейная модель парной регрессии
- •1.3 Альтернативный метод нахождения параметров уравнения парной регрессии
- •1.4 Классический метод наименьших квадратов (мнк) для модели парной регрессии
1.2 Нормальная линейная модель парной регрессии
Нормальная, или классическая, линейная модель парной регрессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из следующих предположений:
факторный признак является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии ;
математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:
где ;
дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений:
случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:
где .
Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;
основываясь на 3 и 4 предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией.
Исходя из указанных предпосылок, нормальную линейную модель парной регрессии можно записать в следующем виде:
(1)
где – значения зависимой переменной ;
– значения независимой переменной;
– коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие оценке;
- случайная ошибка уравнения регрессии.
Матричная форма нормальной линейной модели парной регрессии:
(2)
где – вектор значений зависимой переменной размерности nх1;
– матрица значений независимой переменной размерности nх2.
Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессии параметр умножается на 1;
– вектор коэффициентов уравнения регрессии размерности 2х1;
– вектор случайных ошибок уравнения регрессии размерности nх1.
1.3 Альтернативный метод нахождения параметров уравнения парной регрессии
Традиционно параметры уравнения парной регрессии и оцениваются с помощью МНК, однако в случае парной регрессионной модели возможен и другой подход к оценке параметров регрессионной функции. Запишем уравнение парной регрессии в следующем виде:
.
Здесь y – значение зависимой переменной;
x – значение независимой переменной;
– случайная ошибка;
– среднее значение зависимой переменной, вычисленное на основе выборочных данных. Чаще всего это значение вычисляется по формуле среднего арифметического:
,
где yi – значения зависимой переменной, ;
n – объем выборки;
– среднее значение независимой переменной, которое вычисляется аналогично среднему значению зависимой переменной;
– выборочный коэффициент регрессии y по x. Он характеризует на сколько в среднем изменится результативный показатель y при изменении факторного показателя x на единицу своего измерения.
Оценка выборочного коэффициента регрессии y по x вычисляется с помощью следующей формулы:
,
где – выборочный парный коэффициент корреляции, определяемый как
.
Выборочный парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между изучаемыми признаками. Он изменяется в пределах [–1; +1]. Если , то связь между признаками прямая. Если , то связь между признаками обратная. Если , то связь между признаками отсутствует. Если или , то связь между изучаемыми признаками является функциональной, т. е. характеризуется полным соответствием между x и y: . Примером функциональной зависимости могут служить математические и статистические формулы, например: S=a2. При таком значении парного коэффициента корреляции регрессионный анализ между изучаемыми показателями не проводится. Данная связь не подлежит численной характеристике, так как на практике массовым социально-экономическим явлениям присущи иные виды связи (в частности, корреляционная связь).
– среднее арифметическое значение произведения результативного и факторного признаков;
Sy – выборочное среднеквадратическое отклонение зависимой переменной y. Этот показатель вычисляется по формуле:
,
где – среднее значение квадратов значений результативной переменной y:
,
- квадрат средних значений результативной переменной y:
,
Sx – выборочное среднеквадратическое отклонение независимой переменной x. Этот показатель вычисляется аналогично среднеквадратическому отклонению зависимого показателя y.
При оценивании коэффициента в модели регрессионной зависимости результативного показателя y от факторного показателя x с помощью рассмотренного метода следует помнить о том, что , но .