1.2 Нормальная линейная модель парной регрессии

Нормальная, или классическая, линейная модель парной регрессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из следующих предположений:

1. факторный признак является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии ;

2. математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

где ;

3. дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений:

4. случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:

где .

Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

5. основываясь на 3 и 4 предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией.

Исходя из указанных предпосылок, нормальную линейную модель парной регрессии можно записать в следующем виде:

(1)

где – значения зависимой переменной ;

– значения независимой переменной;

– коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие оценке;

- случайная ошибка уравнения регрессии.

Матричная форма нормальной линейной модели парной регрессии:

(2)

где – вектор значений зависимой переменной размерности nх1;

– матрица значений независимой переменной размерности nх2.

Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессии параметр умножается на 1;

– вектор коэффициентов уравнения регрессии размерности 2х1;

– вектор случайных ошибок уравнения регрессии размерности nх1.

1.3 Альтернативный метод нахождения параметров уравнения парной регрессии

Традиционно параметры уравнения парной регрессии и оцениваются с помощью МНК, однако в случае парной регрессионной модели возможен и другой подход к оценке параметров регрессионной функции. Запишем уравнение парной регрессии в следующем виде:

.

Здесь y – значение зависимой переменной;

x – значение независимой переменной;

– случайная ошибка;

– среднее значение зависимой переменной, вычисленное на основе выборочных данных. Чаще всего это значение вычисляется по формуле среднего арифметического:

,

где y_i – значения зависимой переменной, ;

n – объем выборки;

– среднее значение независимой переменной, которое вычисляется аналогично среднему значению зависимой переменной;

– выборочный коэффициент регрессии y по x. Он характеризует на сколько в среднем изменится результативный показатель y при изменении факторного показателя x на единицу своего измерения.

Оценка выборочного коэффициента регрессии y по x вычисляется с помощью следующей формулы:

,

где – выборочный парный коэффициент корреляции, определяемый как

.

Выборочный парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между изучаемыми признаками. Он изменяется в пределах [–1; +1]. Если , то связь между признаками прямая. Если , то связь между признаками обратная. Если , то связь между признаками отсутствует. Если или , то связь между изучаемыми признаками является функциональной, т. е. характеризуется полным соответствием между x и y: . Примером функциональной зависимости могут служить математические и статистические формулы, например: S=a². При таком значении парного коэффициента корреляции регрессионный анализ между изучаемыми показателями не проводится. Данная связь не подлежит численной характеристике, так как на практике массовым социально-экономическим явлениям присущи иные виды связи (в частности, корреляционная связь).

– среднее арифметическое значение произведения результативного и факторного признаков;

S_y – выборочное среднеквадратическое отклонение зависимой переменной y. Этот показатель вычисляется по формуле:

,

где – среднее значение квадратов значений результативной переменной y:

,

- квадрат средних значений результативной переменной y:

,

S_x – выборочное среднеквадратическое отклонение независимой переменной x. Этот показатель вычисляется аналогично среднеквадратическому отклонению зависимого показателя y.

При оценивании коэффициента в модели регрессионной зависимости результативного показателя y от факторного показателя x с помощью рассмотренного метода следует помнить о том, что , но .