Полиномиальная сводимость. Np – полные задачи.
Классификация сложности задач.
Задачи, как и алгоритмы, принято классифицировать по сложности. Множество всех распознавательных задач, для которых существует полиномиальный разрешающий алгоритм, образуют класс Р. Ясно, что распознавательные трудноразрешимые задачи не принадлежат классу Р.
Класс NP – это множество распознавательных задач, которые могут быть разрешены за полиномиальное время на недетерминированной машине Тьюринга (НМТ). Иначе говоря, NP-полная задача — задача из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из класса NP за полиномиальное время. Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «самых сложных» задач в классе NP; и если длякакой-то из них будет найден «быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».
Оракул предлагает решения, которые после проверки верификатором приобретают «юридическую» силу. Таким образом, задачи класса NP являются «полиноминально проверяемыми». Например, в задаче коммивояжера оракул предлагает некоторую перестановку всех вершин графа, а верификатор проверяет, образует ли эта перестановка гамильтонов цикл графа. Ясно, что такую проверку можно выполнить с полиномиальной сложностью – надо лишь проверить смежность соседних вершин.
Построить одну перестановку вершин тоже можно с полиномиальной сложностью. Оба шага решения задачи полиномиальные, поэтому задача коммивояжера принадлежит классу NP. Трудноразрешимой ее делает факториальное число повторений этих шагов. Следует отметить, что такую двухшаговую процедуру поиска решения можно применить к любой распознавательной задаче полиномиальной сложности.
NP – полная задача
Для некоторых задач класса P = NP было обнаружено удивительное свойство. Оказалось, что некоторые из них универсальны в том смысле, что построение полиномиального алгоритма для любой такой задачи влечет за собой возможность построения такого же алгоритма для всех остальных задач класса NP. Такие задачи называют NP-полными. Для понимания этого свойства требуется определить понятие полиномиальной сводимости одной задачи к другой.
Пусть заданы две массовые задачи z1, z2 принадлежащие классу NP. Говорят, что задача z1 полиномиально сводится к задаче z2, если • для любой частной задачи из z1 можно за полиномиальное время построить соответствующую ей частную задачу из z2; • решение построенной частной задачи из z2 за полиномиальное время может быть преобразовано в решение соответствующей частной задачи из z1. Массовую задачу z называют NP-полной, если любая задача из этого класса полиномиально сводится к решению задачи z. Таким образом, теперь ясно, что разработка полиномиального алгоритма любой NP-полной задачи практически означает возможность построения такого алгоритма для любой задачи класса NP, т. е. справедливость равенства P = NP.
Для доказательства NP-полноты некоторой задачи, нет необходимости сводить к ней каждую задачу класса NP. Достаточно установить ее принадлежность к классу NP и показать, что к ней сводится какая-либо известная NP-полная задача. Чтобы воспользоваться этой схемой, надо иметь в распоряжении хотя бы одну NP-полную задачу. Методы, используемые при доказательстве NP-полноты конкретных задач, развиваются очень быстро. В настоящее время часто применяются три основных метода: сужение задачи, локальная замена и построение компоненты. Доказательство методом сужения NP-полноты задачи z1, которая принадлежит классу NP, заключаетсяв установление того, что задача z1 включает в качестве частного случая известную NP-полную задачу z2.Доказательство двумя другими методами достаточно нетривиальны, и поэтому здесь у нас нет возможности их рассмотреть и проиллюстрировать. В заключение следует отметить, что теория NP-полноты, помимо теоретического, представляет и чисто практический интерес. Доказав, что задача NP-полна, разработчик алгоритмов получает достаточное основания, чтобы отказаться от поиска эффективного и точного решения. В настоящее время для решения NP-полных задач используются в основном различного рода приближенные алгоритмы, основанные на эвристиках и вероятностных механизмах.