3. Задание по работе и содержание отчета

В работе требуется решить одну оптимизационную задачу при помощи метода Ферма, а также два примера по упрощению выражений – один алгебраический и один тригонометрический [1]. Если пример решается в одно действие, пояснить промежуточные шаги средствами Maple. Номера задачи и примеров для каждого варианта в таблице вариантов заданий. Ниже приведен список задач и примеров.

Задача 1. (о наилучшей освещенности)

Электрическая лампа может передвигаться вдоль вертикального шеста с помощью тросика. На какой высоте h ее следует поместить, чтобы освещенность в точке А, расположенной на расстоянии l от основания шеста была наибольшей. Освещенность пропорциональна синусу угла  и обратно пропорциональна квадрату расстояния D.

Задача 2. (о максимальной отдачи мощности в электрической цепи)

Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рисунке. Здесь e – источник напряжения (генератор), r – его внутреннее сопротивление, R – сопротивление нагрузки. Требуется определить, при каком сопротивлении R будет происходить максимальная отдача мощности в нагрузку. Каков при этом будет коэффициент полезного действия?

Задача 3. (о шайбе и трамплине)

Шайба движется по гладкой поверхности без трения со скоростью V. При какой высоте трамплина h (см. рис.) дальность полета S окажется максимальной? Точная форма трамплина и масса шайбы неизвестны, верх трамплина горизонтален. (Задача решается через кинетическую и потенциальную энергию).

Задача 4. (яйцо в кастрюле)

"Яйцо в кастрюле". В цилиндрическом сосуде (кастрюле) диаметра 1 лежит круглое яйцо. При каком диаметре яйца d потребуется больше всего воды, чтобы целиком скрыть яйцо. Объем цилиндра определяется формулой , а объем шара .

Задача 5. (линейка на спице)

На каком расстоянии от центра деревянной линейки длины L надо сделать отверстие, чтобы период ее колебаний на спице, пропущенной в это отверстие, был минимальным? Частота колебаний линейки определяется формулой , где I_l – момент инерции линейки относительно точки подвеса. Его можно найти с помощью формулы Штейнера I_l = ml² + I₀, где I₀ = mL² / 12 – момент инерции линейки относительно ее центра тяжести.

Пример А.1	Пример Б.1 доказать тождество:
Пример А.2	Пример Б.2 решить уравнение:
Пример А.3	Пример Б.3 решить уравнение:
Пример A.4 вычислить	Пример Б.4 решить уравнение:
Пример A.5 вычислить	Пример Б.5 решить уравнение:
Пример A.6	Пример Б.6 решить уравнение:
Пример A.7	Пример Б.7 решить уравнение:
Пример A.8 разложить на множители:	Пример Б.8 решить уравнение:
Пример A.9 доказать тождество:	Пример Б.9 дано: найти
Пример A.10 доказать, что если , то	Пример Б.10 показать, что уравнение не имеет корней

Отчет по работе должен содержать:

1. Решение примера на тождественное преобразование алгебраических выражений с использованием Maple.

2. Решение примера на тождественное преобразование тригонометрических выражений с использованием Maple.

3. Описание и аналитическое решение оптимизационной задачи.

4. Аналитическое и численное решения задачи с использованием пакета Maple.

5. График исследуемой зависимости с отмеченной точкой экстремума. График производной этой зависимости с отмеченным нулем.