Б. Уравнение регрессии второго порядка

1. Квадратичная модель: однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все три фактора: ортогональны:

. (27)

2. Ортогонализация квадратичного фактора осуществляется с помощью ортогонализирующего коэффициента :

. (28)

3. Матрица планирования с числом опытов N с числом дублей n в каждом опыте, созданная для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка в полной мере выполняет свои функции и для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка. Так как для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка используются те же самые экспериментальные данные, что и для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка, то параметры одинаковы для обоих типов уравнений.

Кроме того, так как факторы Х₀, Х₁ и ( ), необходимые для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка ортогональны ( , , ), то это позволяет рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и дисперсии их значимости независимо друг от друга. Следовательно, уже рассчитанные параметры для однофакторного уравнения регрессии первого порядка без всяких изменений справедливы и для однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка. Для окончательного построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка следует рассчитать только те параметры, которые связаны с вновь введённым коэффициентом регрессии b₁₁.

4. Матрица моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка отличается от матрицы моделирования для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка дополнительным столбцом фактора . Таблица матрицы моделирования в этом случае состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, , , , , , , , , значения которых позволяют провести обработку экспериментальных данных (расчёт квадратичного коэффициента уравнения регрессии и проверка его на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности и оптимизация в случае адекватности уравнения регрессии).

3.1. Квадратичный коэффициент b₁₁ однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывается по формуле:

. (29)

3.2. Дисперсия значимости коэффициента b₁₁ однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывается по формуле:

. (30)

3.3. Доверительный интервал коэффициента b₁₁ однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывается критерию Стьюдента:

, (31)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

3.4. Коэффициент b₁₁ однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка значим, если:

. (32)

3.5. Дисперсия адекватности однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и число её степеней свободы рассчитываются по формулам:

, (33)

, (34)

где n – число дублей в каждом опыте;  ‑ остаточная сумма квадратов;  ‑ значение параметра Y, рассчитанное по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , в котором оставлены только значимые коэффициенты ( ); N ‑ число опытов; В – число значимых коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка.

3.6. Адекватность однофакторного ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка проверяется по критерию Фишера, точно так же, как и адекватность однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (24) – (26)). Если полученное однофакторного ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка неадекватно, следует перейти к построению однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии третьего порядка.

4. Предельная абсолютная погрешность Y(Х₁) параметра Y(Х₁), рассчитанного по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка в случае его адекватности, определяется по формуле:

, (35)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

5. Параметр Y, описываемый однофакторным ортогонализированным уравнением регрессии второго порядка, всегда имеет экстремум: максимум, если , или минимум, если . Необходимое условие максимума (минимума) – это равенство нулю первой производной :