Задача 4 а. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка

1. Линейная модель: однофакторное уравнение регрессии первого порядка:

.

Уравнение регрессии строится в нормированных значениях факторов. Все значения фиктивного нормированного фактора X₀ равны .

2. Пусть натуральные значения фактора . Взаимосвязь нормированных значений фактора Х₁ с натуральными значениями фактора х₁ задаётся следующими формулами:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

где  ‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х₁, соответственно: , то .

3. Матрица планирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в натуральном значении фактора . Таблица состоит для N опытов с числом дублей n в каждом опыте и включает в себя столбцы: N, , , , , значения которых позволяют выполнить эксперимент по выбранному плану и провести предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних, выборочных дисперсий в каждом опыте и дисперсии воспроизводимости, проверка всех выборочных дисперсий на однородность).

Для построения однофакторного уравнения первого порядка воспользуемся равномерным симметричным планом (РСП). Матрица планирования на базе РСП состоит из N опытов, в которой фактор х₁ в натуральных значениях варьируется на равноотстоящих друг от друга уровнях:

, . (5)

4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования, где N ‑ число опытов ( ); n – число в каждом опыте дублей ( ).

4.1. Выборочное среднее в каждом опыте:

, . (6)

4.2. Выборочная дисперсия в каждом опыте:

, . (7)

4.3. Проверка выборочных дисперсий всех N опытов на однородность по критерию Кохрена:

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена .

; (8)

‑ табличное значение критерия Кохрена  при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;

‑ критерий однородности выборочных дисперсий:

‑ выборочные дисперсии ( ) с доверительной вероятностью р однородны, то есть , если

, (9)

‑ выборочные дисперсии ( ) с доверительной вероятностью р неоднородны, то есть равенство не выполняется, если

. (10)

Если выборочные дисперсии неоднородны, то дальнейшее моделирование изучаемого объекта предложенным математическим аппаратом некорректно. Необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.

4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы равны:

, (11)

. (12)

5. Матрица моделирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в нормированных значениях факторов . Таблица состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, , , , , , , значения которых позволяют провести обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).

Столбец нормированного фактора состоит из элементов . Нормированные значения фактора рассчитываются по формуле (1), либо для РСП с учётом уравнений (1) – (5) по формуле:

, . (13)

5.1. Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (при условии, что факторы Х₀ и Х₁ ортогональны) рассчитывают по формулам:

; (14)

. (15)

5.2. Проверка коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость (при условии, что факторы Х₀ и Х₁ ортогональны).

Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного уравнении регрессии первого порядка для РСП:

; (16)

. (17)

Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитывают по критерию Стьюдента:

, (18)

, (19)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.

Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:

, (20)

. (21)

Если для какого-либо регрессионного коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот регрессионный коэффициент незначим и его необходимо исключить из полученного уравнения регрессии.