18.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть материальная точка М(х,у,z) массы m движется по криволинейной траектории под действием силы рис.18.2. Проекции этой силы на координатные оси инерциальной системы отсчета Охуz обозначим через .

Рис.18.2.

Если обозначим ускорение точки через , то на основании второго закона

Проектируя это векторное равенство на координатные оси, получим:

Как известно из кинематики, проекции ускорения на координатные оси выражаются так:

, ,

Откуда, получим:

, ,

Таким образом, мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка, выражающих в координатной форме второй закон динамики.

Эти уравнения, являющиеся в динамике точки основными, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Если на точку действуют одновременно несколько сил, то на основании четвертого закона под нужно понимать в этом случае проекции на координатные оси равнодействующей всех этих сил.

18.3. Две основные задачи динамики точки

Первая задача. Зная движение материальной точки данной массы, найти силу, действующую на точку в этом движении в каждый данный момент времени.

Движение точки определяется кинематическими уравнениями , , , выражающими координаты движущейся точки, как известные функции времени. Требуется найти силу , действующую на эту точку. Решение получаем непосредственно из дифференциальных уравнений движения материальной точки, полученных выше:

, , , где m – масса данной точки.

Определив три проекции искомой силы , мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент времени.

Пусть, например, точка М массы m движется по эллиптической траектории в плоскости Оху, причем движение ее задано следующими уравнениями:

,

Найти силу , действующую на эту точку (рис.18.3).

Рис.18.3.

Из данных уравнений находим:

Умножая эти уравнения на массу m, получаем проекции искомой силы:

Модуль искомой силы определится по формуле:

, где радиус вектор движущейся точки. Для определения направления вектора находим его направляющие косинусы:

,

С другой стороны, направляющие косинусы радиуса вектора r выражаются так: и . Очевидно, что направляющие косинусы векторов и отличаются только знаками, следовательно, эти векторы направлены по одной прямой в противоположные стороны. Поэтому имеем:

Это векторное равенство показывает, что в данном эллиптическом движении на точку действует притягивающая сила, пропорциональная массе точки и ее расстоянию от центра притяжения, находящегося в начале координат, т.е. в центре эллипса.

Вторая задача (обратная). Известна сила , действующая на материальную точку данной массы. Требуется найти движение этой точки, т.е. выразить ее координаты как функции времени. Решение задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения точки, в которых известны, т.к. известна сила .

Материальная точка брошена с начальной скоростью под углом к горизонту. Найти движение этой точки под действием силы тяжести (рис.18.4)

Рис.18.4.

Пусть начало движения

В начальный момент времени имеем:

Составляя дифференциальные уравнения движения точки, получим:

, , , или, сокращая на :

, ,

Интегрируя первое уравнение, находим:

Т.е. получаем:

Т.е. проекция скорости на ось х имеет постоянное значение, следовательно, во все время движения она имеет тоже значение, какое имела в начальный момент:

Откуда

Т.е.

Но в начальный момент , следовательно,

Откуда:

Т.о. траектория точки лежит в вертикальной плоскости Оуz.

Из второго дифференциального уравнения получаем:

Или

Т.е. проекция скорости на ось х остается постоянной. Так же кА предыдущем случае находим, что

Следовательно

Интегрируя уравнение, получаем

Для определения постоянной , подставляем постоянные значения и :

Получаем решение второго уравнения:

Третье дифференциальное уравнение:

Интегрируя его, находим:

или

Для определения постоянной нужно подставить начальные значения и в полученное решение:

Следовательно:

Откуда, интегрируя еще раз, имеем:

Подставляя в полученное решение начальные значения , , находим:

Получаем уравнение искомого движения точки в плоскости Оzу в конечном виде:

и

Исключив из этих уравнений время , получим уравнение параболической траектории точки:

Т.о. произвольные постоянные, появляющиеся при интегрировании дифференциальных уравнений движения, определяются по начальным условиям, т.е. по начальным координатам движущейся точки и по проекциям ее начальной скорости на координатные оси: , , .

Отсюда следует, что для полного определения движения точки недостаточно знать только силу, действующую на точку. Необходимо еще знать начальные условия движения, т.е. начальное положение точки и ее начальную скорость . В общем случае при интегрировании дифференциальных уравнений движения точки мы получили шесть произвольных постоянных. В случае плоского движения мы имели бы четыре постоянных, которые определяются по четырем начальным значениям координат и проекций скоростей: , и .

10