Для всіх значень х в області збіжності ряду має місце співвідношення , тому

, тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при .

Лекція 25. Степеневий ряд, його область та інтервал збіжності. Властивості степеневих рядів. Радіус збіжності степеневого ряду

25.1. Степеневий ряд, його область та інтервал збіжності. Радіус збіжності степеневого ряду

Означення. Функціональний ряд виду

, де - дійсні числа, називається степеневим.

Основна властивість степеневих рядів полягає в тому, що якщо степеневий ряд збігається при , то він збігається (і притім абсолютно) при любому значенні х, яке задовольняє нерівності (теорема Абеля).

Одним із наслідків теореми Абеля є факт існування для всякого степеневого ряду інтервалу збіжності , або з центром у точці а, усередині якого степеневий ряд абсолютно збігається і поза яким він розбігається. На кінцях інтервалу збіжності (у точках ) різні степеневі ряди поводяться по-різному: одні збігаються абсолютно на обох кінцях, інші - або умовно збігаються на обох кінцях, або на однім із них умовно збігаються, на іншому розбігаються, треті - розбігаються на обох кінцях.

Означення. Число R - половина довжини інтервалу збіжності - називається радіусом збіжності степеневого ряду.

У окремих випадках радіус збіжності ряду R може дорівнювати нулю або нескінченності. Якщо , то степеневий ряд збігається лише при ; якщо ж , то ряд збігається на всій числовій осі.

Для знаходження інтервалу і радіуса збіжності степеневого ряду можна користуватися одним із наступних способів.

1. Якщо серед коефіцієнтів ряду немає рівних нулю, тобто ряд містить усі цілі позитивні степені різниці , то

за умови, що ця границя (кінцева або нескінченна) існує.

2. Якщо вихідний ряд має вид

, (де р - деяке визначене ціле позитивне число: 2, 3, …), то

.

3. Якщо серед коефіцієнтів ряду є рівні нулю і послідовність показників степенів різниці , які залишилися в ряді , будь-яка (тобто не утворить арифметичну прогресію, як у попередньому випадку), то радіус збіжності можна знаходити по формулі

, у якій використовуються тільки значення , відмінні від нуля. (Ця формула придатна й у випадках 1 і 2.)

4. В усіх випадках інтервал збіжності можна знаходити, застосовуючи безпосередньо ознаку Даламбера або ознаку Коші до ряду, складеного з абсолютних величин членів вихідного ряду.

Ряди, отримані почленним диференціюванням і інтегруванням степеневого ряду, мають той же інтервал збіжності і їх суми усередині інтервалу збіжності дорівнюють відповідно похідної і інтегралу від суми початкового ряду.

Операцію почленного диференціювання й інтегрування можна робити над степеневим рядом скільки завгодно раз. Отже, сума степеневого ряду усередині його інтервалу збіжності є нескінченно диференційована функція.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Розв'язок. Тут , , маємо

.

Отже, ряд збігається, якщо , тобто .

Досліджуємо збіжність на кінцях проміжку. Якщо , то одержуємо ряд , який збігається, тому що ряд збігається при (на основі інтегральної ознаки). Якщо , то одержуємо ряд . Цей ряд збігається (і притім абсолютно), тому що збігається ряд з абсолютних величин його членів.

Отже, степеневий ряд збігається для значень х, які задовольняють подвійній нерівності .