Лекція 23. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Ряди зі знакочергуванням. Ознака лейбніца. Властивості знакозбіжних рядів

23.1. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца

Будемо розглядати ряди, члени яких мають знакозмінні знаки, тобто ряди виду

.

Теорема Лейбніца. Якщо у знакозмінному ряді

члени такі, що і , то ряд збігається, його сума додатна і не перевершує першого члена.

Зауваження. Теорема Лейбніца справедлива, якщо нерівності виконуються, починаючи з деякого N.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язок. Застосуємо теорему Лейбніца. Тому що , то перша умова теореми виконується. Далі, тому що , то виконана і друга умова. Виходить, даний ряд збігається.

23.2. Знакопереміжні ряди. Абсолютна й умовна збіжність

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів: . Якщо ж знакозмінний ряд збігається, а ряд , складений з абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд називається умовно збіжним рядом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Перша умова ознаки Лейбніца виконується: Тому що , то виконана і друга умова. Виходить, даний ряд збігається.

Складемо ряд з абсолютних величин: . Даний гармонічний ряд розбігається, отже, знакозмінний ряд збігається умовно.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Перша умова ознаки Лейбніца виконується: Тому що , то виконана і друга умова. Виходить, даний ряд збігається.

Складемо ряд з абсолютних величин: . Дослідимо збіжність даного ряду, використовуючи ознаку Даламбера; маємо: , .

, отже, ряд збігається. Виходить, даний ряд збігається абсолютно.

23.3. Властивості абсолютно й умовно збіжних рядів

Теорема. Якщо ряд збігається абсолютно, то він залишається абсолютно збіжним при будь-якій перестановці його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.

Теорема. Якщо ряд збігається умовно, то яке б ми ні задали число А, можна так переставити члени цього ряду, щоб його сума виявилася в точності рівною А. Більш того, можна так переставити члени умовно збіжного ряду, щоб ряд, отриманий після перестановки, виявився розбіжним.

Приклад. Знакозмінний ряд

(23.3) збігається умовно. Позначимо його суму через S. Очевидно, що . Зробимо перестановку членів ряду так, щоб за одним додатним членом ішли два від'ємних:

(23.4) Доведемо, що отриманий ряд збігається, але що його сума в два рази менше суми вихідного ряду, тобто . Позначимо через і часткові суми рядів (23.3) і (23.4). Розглянемо суму членів ряду (23.4):

Отже, .

Далі, ,

.

Таким чином,

. Отже, у даному випадку сума ряду змінилася після перестановки його членів (зменшилася вдвічі).

Функціональні ряди лекція 24. Область збіжності функціонального ряду

24.1. Область збіжності функціонального ряду

Означення. Ряд

, члени якого - функції від х, називається функціональним.

Даючи х визначені числові значення, ми одержуємо різні числові ряди, які можуть виявитися збіжними або розбіжними.

Означення. Сукупність тих значень х, при яких функціональний ряд збігається, називають областю збіжності цього ряду.

Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деяка функція від х. Тому суму функціонального ряду позначають через .

Представимо суму ряду у вигляді , де

,

[ - залишок функціонального ряду].