19.2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо тепер неоднорідне рівняння

, (19.1)

і з неперервною правою частиною .

Означення. Якщо в (19.1) , то рівняння називається відповідним однорідним рівнянням.

Теорема 1. Якщо відомий який-небудь частинний розв'язок неоднорідного рівняння , то загальний його розв'язок є сума цього частинного розв'язку і загального розв'язку у відповідного однорідного рівняння , тобто .

Доказ. Потрібно довести, що сума є загальний розв'язок рівняння .

Доведемо спочатку, що функція є розв'язок рівняння .

Підставляючи суму в рівняння замість у, отримаємо

, або .

Тому що у є розв'язок рівняння , то вираз, який знаходиться в других дужках, тотожно дорівнює нулю. Тому що є розв'язок рівняння , то вираз, який стоїть в перших дужках, дорівнює . Отже, рівність є тотожністю. Таким чином, перша частина теореми доведена.

Доведемо тепер, що вираз є загальний розв'язок рівняння , тобто доведемо, що вхідні в нього довільні сталі можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:

, які б ні були числа (аби було узято з тієї області, де функція неперервна).

Помітивши, що у можна представити у формі

, де і - лінійно незалежні розв'язки рівняння , а і - довільні сталі, можемо переписати рівність у вигляді .

Тоді на підставі умов отримаємо

, .

З цієї системи рівнянь потрібно визначити і . Переписавши систему у вигляді

, ,

зауважуємо, що визначник цієї системи є визначник Вронського для функцій і в точці . Тому що ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже, система має визначений розв'язок і , тобто існують такі значення і , при яких формула визначає розв'язок рівняння , який задовольняє даним початковим умовам. Теорема цілком доведена.

Теорема 2. Якщо -частинний розв'язок рівняння , а - частинний розв'язок рівняння , то - частинний розв'язок рівняння .

Доказ. Складаючи ліві і праві частини рівностей і , получимо

. З останньої рівності і випливає, що сума є розв'язок рівняння .

Теореми, за допомогою яких знаходяться частинні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь для спеціальних правих частин:

Теорема 3. Якщо права частина лінійного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами має вид , де - многочлен n-ої степені і не є коренем характеристичного рівняння, то існує частинний розв'язок вигляду , де - деякий многочлен n-ої степені:

. Якщо ж є коренем характеристичного рівняння кратності k ( або ), то існує частинний розв'язок вигляду .

Зокрема, при права частина - многочлен n-ої степені, і якщо не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок - також деякий многочлен тієї ж степені. Якщо ж - корінь кратності k, то частинний розв'язок має вигляд .

Теорема 4. Якщо ж права частина лінійного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами може бути подана у вигляді

, де і - многочлени (n - найбільша з їх степенів) і не є коренем характеристичного рівняння, то існує частинний розв'язок виду

, де

і -

многочлени степені n. Якщо ж є коренем характеристичного рівняння кратності k, то існує частинний розв'язок виду

.

Приклад. Вирішити рівняння .

Розв'язок. Вирішимо відповідне однорідне рівняння . Складемо характеристичне рівняння ; його корені , . Загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння є .

Тому що права частина даного неоднорідного рівняння має вид (тобто вид ), причому 0 не є коренем характеристичного рівняння , то частинний розв'язок будемо шукати у виді

.

Підставимо цей вираз в задане рівняння

, .

, .

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, получимо

Відкіля , . Отже, . Загальний розв'язок буде

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язок. Вирішимо відповідне однорідне рівняння . Складемо характеристичне рівняння ; його корені , . Загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння є .

Тут права частина має вид , причому коефіцієнт 1 у показнику степені є простим коренем характеристичного многочлена. Отже, частинний розв'язок шукаємо у виді

,

,

.

Підставляючи в задане рівняння, будемо мати

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, получимо

,

, відкіля , . Отже, частинним розв'язком є

, а загальним

.

Приклад. Знайти загальний інтеграл лінійного неоднорідного рівняння .

Розв'язок. Характеристичне рівняння має корені ; . Тому загальний інтеграл відповідного однорідного рівняння є

.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у виді

, де А і В - сталі коефіцієнти, які підлягають визначенню.

Підставляючи в задане рівняння, будемо мати:

.

Прирівнюючи коефіцієнти при і , одержимо систему двох рівнянь для визначення А і В:

відкіля , . Загальний розв'язок даного рівняння , тобто

.

Приклад. Вирішити рівняння .

Розв'язок. Характеристичне рівняння має корені ; : тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вид

.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у формі

.

Тоді ,

.

Підставляючи ці вирази похідних у дане рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при і , одержуємо систему рівнянь для визначення А і В:

відкіля , .

Таким чином, загальний інтеграл даного рівняння

.