17.2. Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої) для розв'язку лінійних рівнянь першого порядку
Суть методу полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння
. Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:
.
(17.7)
Розв'язок (17.7) повинен задовільняти
рівняння (17.1). Диференціючи і підставляючи
(17.7) в (17.1), маємо:
,
,
,
,
,
.
(17.8)
Він співпадає з розв'язком (17.6).
Приклад. Розв'язати рівняння методом Лагранжа
.
Розв'язок. Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння
,
,
,
.
Вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:
,
.
Підставимо
у вихідне рівняння у,
і з отриманого диференціального рівняння
знайдемо функцію
:
,
,
.
- загальний розв'язок.
Тому що
,
то
- теж розв'язок вихідного рівняння.
Лекція 18. Диференціальні рівняння виших порядків. Рівняння, які допускають зниження порядку. Задача коші
18.1. Рівняння виду
Розв'язок цього рівняння знаходиться n-кратним інтегруванням:
,
,
,
…………………………………………………
,
де
.
Тому
що
,
є сталі,
то загальний розв'язок може бути записаний
і так:
.
Приклад.
Знайти розв'язок задачі Коші:
,
.
Розв'язок. Знайдемо загальний розв'язок послідовним інтегруванням даного рівняння
,
.
.
Скористаємося початковими умовами:
:
,
.
:
,
.
Отже, шуканий частинний розв'язок має вигляд:
.
18.3. Рівняння II порядку, що дозволяють зниження порядку
Випадок
1.
.
Заміна
,
.
Приклад.
Розв'язати рівняння
.
Розв'язок.
Це рівняння не містить у.
Вважаючи
,
перетворимо рівняння до виду
.
Інтегруємо
його. Вважаючи в рівнянні
,
,
одержимо:
,
.
Визначаємо
,
поклавши
,
,
,
відкіля
,
або
.
Визначимо :
,
,
відкіля
;
отже,
.
Повертаючись до змінної у, маємо
,
,
.
Випадок
2. Диференціальне рівняння виду
,
яке не містить незалежної змінної.
Рівняння
цього виду допускає зниження порядку
за допомогою заміни
,
,
або
.
Приклад.
Розв'язати рівняння
.
Розв'язок.
Вважаючи
,
,
отримаємо рівняння I
порядку відносно невідомих
і
.
.
Розділимо змінні і проінтегруємо:
,
,
,
,
.
Повертаючись
до змінної
,
отримаємо
,
,
,
,
,
,
.
ЛЕКЦІЯ 19. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ ЗІ СПЕЦІАЛЬНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ
19.1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
Означення.
Рівняння виду
,
де a,
b,
c
- сталі, називається лінійним
однорідним диференціальним рівнянням
другого порядку із сталими коефіцієнтами.
Теорема.
Якщо
і
- два лінійно-незалежні частинні розв'язки
рівняння
,
,
то загальний розв'язок цього рівняння
.
Для визначення частинних розв'язків і рівняння скдадаємо характеристичне рівняння
,
де k
- корінь, який визначається за формулою
,
.
У залежності від коренів характеристичного рівняння загальний розв'язок шукаємо у вигляді:
а) якщо
корені рівняння
- дійсні різні, то загальний розв'язок
;
б) якщо
корені рівняння
- дійсні рівні, то загальний розв'язок
;
в) якщо
корені рівняння
- комплексні спряжені, то загальний
розв'язок
.
Приклад.
Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язок.
Складемо характеристичне рівняння
;
його корені
,
.
Отже, загальний розв'язок має вигляд:
.
Приклад.
Знайти розв'язок задачі Коші:
,
,
.
Розв'язок.
Складемо характеристичне рівняння
;
його корені
.
Отже, загальний розв'язок має вигляд:
.
Підставляючи
початкові умови в загальний розв'язок
і його похідну, одержимо систему рівнянь
відносно
і
.
Виходить, розв'язок, який задовольняє поставленим початковим умовам, має вигляд:
.
Приклад.
Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язок.
Складемо характеристичне рівняння
;
його корені
.
Корені характеристичного рівняння
комплексні сполучені, а тому загальний
розв'язок є
.