14.7. Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли I роду)

Нехай функція визначена і неперервна при усіх значеннях х таких, що . Розглянемо інтеграл . Цей інтеграл має смисл при усіх . При зміні b інтеграл змінюється. Розглянемо питання про поведінку цього інтеграла при .

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції на інтервалі і позначається так: .

Отже, по означенню маємо: .

Говорять, що в цьому випадку невласний інтеграл існує або збігається. Якщо при не має скінченної границі, то говорять, що невласний інтеграл не існує або розбігається.

Легко з'ясувати геометричний зміст невласного інтеграла у випадку, коли : якщо інтеграл виражає площу області, обмеженої кривою , віссю абсцис і ординатами , , то природно вважати, що невласний інтеграл виражає площу необмеженої (нескінченної) області, замкнутої між лініями , і віссю абсцис.

Аналогічним образом означаються невласні інтеграли і від інших нескінченних інтервалів.

. .

Останню рівність варто розуміти так: якщо кожний із невласних інтегралів, який стоїть справа, існує, то існує (збігається) по означенню й інтеграл, який стоїть зліва.

Приклад. Обчислити невласні інтеграли:

а)

б) .

Другий інтеграл дорівнює . Обчислимо перший інтеграл.

Отже, .

Приклад. Показати, для яких значень інтеграл збіжний, а для яких розбіжний.

Розв'язок.

При .

Отже, щодо аналізованого інтеграла можна зробити такі висновки:

якщо , то , тобто інтеграл збігається;

якщо , то , тобто інтеграл розбігається.

При , тобто інтеграл розбігається.

14.8. Інтеграл від необмеженої функції (невласні інтеграли II роду)

Нехай функція визначена і неперервна при , а при функція або не визначена, або терпить розрив. У цьому випадку не можна говорити про інтеграл як про границю інтегральних сум, тому що не визначена на відрізку , і тому ця границя може і не існувати.

Інтеграл від функції , необмеженої в точці b, означається таким способом: .

Означення. Якщо границя, яка стоїть справа, існує, то інтеграл називають невласним збіжним інтегралом, у противному випадку інтеграл називають розбіжним.

Якщо функція необмежена в лівому кінці відрізка (тобто при ), то по означенню .

Якщо функція необмежена в деякій точці , яка лежить усередині відрізка , то , якщо обидва невласних інтеграли, які стоять у правій частині рівності, існують.

Приклад. Обчислити невласні інтеграли:

а)

б)

.

Отже, даний інтеграл розбігається.

Зауваження. Якщо функція , визначена на відрізку , має всередині цього відрізка скінчене число точок розриву , то інтеграл від функції на відрізку означається так: , якщо кожний із невласних інтегралів у правій частині рівності збігається. Якщо ж хоча б один із цих інтегралів розбігається, то і називається розбіжним.