Интерполяционный многочлен Ньютона
Задача: построить интерполяционный многочлен Ньютона вручную использую Excel.
Таблица зависимости значений функции от аргумента
X |
1 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
Y |
0,9 |
1,9 |
3,2 |
3,8 |
5,1 |
6,1 |
Ручной счет:
Многочлен Ньютона находится по формуле:
В
Excel вычислим коэффициенты
В столбце А находятся Xi, в столбце B находятся Yi. Вычисленные коэффициенты располагаются так:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
1 |
X0 |
Y0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Y(X0,X1) |
|
|
|
|
3 |
X1 |
Y1 |
|
Y(X0,X1,X2) |
|
|
|
4 |
|
|
Y(X1,X2) |
|
Y(X0,X1,X2,X3) |
|
|
5 |
X2 |
Y2 |
|
Y(X1,X2,X3) |
|
Y(X0,X1,X2,X3,X4) |
|
6 |
|
|
Y(X2,X3) |
|
Y(X1,X2,X3,X4) |
|
Y(X0,X1,X2,X3,X4,X5,X6) |
7 |
X3 |
Y3 |
|
Y(X2,X3,X4) |
|
Y(X1,X2,X3,X4,X5) |
|
8 |
|
|
Y(X3,X4) |
|
Y(X2,X3,X4,X5) |
|
|
9 |
X4 |
Y4 |
|
Y(X3,X4,X5) |
|
|
|
10 |
|
|
Y(X4,X5) |
|
|
|
|
11 |
X5 |
Y5 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты вычисляются так:
,
,
и т.д.
,
и т.д.
,
и т.д.
,
Формулы в Excel:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
1 |
1 |
0,9 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
=(B3-B1)/(A3-A1) |
|
|
|
|
3 |
1,2 |
1,9 |
|
=(C4-C2)/(A5-A1) |
|
|
|
4 |
|
|
=(B5-B3)/(A5-A3) |
|
=(D5-D3)/(A7-A1) |
|
|
5 |
1,4 |
3,2 |
|
=(C6-C4)/(A7-A3) |
|
=(E6-E4)/(A9-A1) |
|
6 |
|
|
=(B7-B5)/(A7-A5) |
|
=(D7-D5)/(A9-A3) |
|
=(F7-F5)/(A11-A1) |
7 |
1,6 |
3,8 |
|
=(C8-C6)/(A9-A5) |
|
=(E8-E6)/(A11-A3) |
|
8 |
|
|
=(B9-B7)/(A9-A7) |
|
=(D9-D7)/(A11-A5) |
|
|
9 |
1,8 |
5,1 |
|
=(C10-C8)/(A11-A7) |
|
|
|
10 |
|
|
=(B11-B9)/(A11-A9) |
|
|
|
|
11 |
2 |
6,1 |
|
|
|
|
|
В итоге получаем такую таблицу значений:
|
A |
B |
C |
D |
F |
E |
G |
1 |
1 |
0,9 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
1,2 |
1,9 |
|
3,75 |
|
|
|
4 |
|
|
6,5 |
|
-20,8333 |
|
|
5 |
1,4 |
3,2 |
|
-8,75 |
|
62,5 |
|
6 |
|
|
3 |
|
29,16667 |
|
-125 |
7 |
1,6 |
3,8 |
|
8,75 |
|
-62,5 |
|
8 |
|
|
6,5 |
|
-20,8333 |
|
|
9 |
1,8 |
5,1 |
|
-3,75 |
|
|
|
10 |
|
|
5 |
|
|
|
|
11 |
2 |
6,1 |
|
|
|
|
|
Нужные коэффициенты выделены жирным. Подставим их в многочлен Ньютона:
N(x)=0,9+5(х-1)+3,75(х-1)(х-1,2)-20,8333(х-1)(х-1,2)(х-1,4)+62,5(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)-125(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)(х-1,8)=0,9+5х-5+3,75 X2 -8,25х+4,5-20,8333 X3 +74,99988 X2 -89,166524х+34,999944+62,5 X4 -325 X3 +627,5 X2 -533х+168-125 X5 +875 X4 -2425 X3 +3325 X2 -2254,8х+604,8
В результате получим многочлен:
N(х)=-125 X5 +937,5 X4 -2770,8333 X3 +4031,2498 X2 -2880,21624+808,199944
Проверим значения полученной функции в первых шести точках:
N(1)=-125 *15 +937,5 *14 -2770,8333 *13 +4031,2498 *12 -2880,21624*1+808,199944≈0,9
N(1,2)=-125 *(1,2)5 +937,5 *(1,2)4 -2770,8333 *(1,2)3 +4031,2498 *(1,2)2 -2880,21624*1,2+808,199944≈1,9
N(1,4)=-125 *(1,4)5 +937,5 *(1,4)4 -2770,8333 *(1,4)3 +4031,2498 *(1,4)2 -2880,21624*1,4+808,199944≈3,2
N(1,6)=-125 *(1,6)5 +937,5 *(1,6)4 -2770,8333 *(1,6)3 +4031,2498 *(1,6)2 -2880,21624*1,6+808,199944≈3,8
N(1,8)=-125 *(1,8)5 +937,5 *(1,8)4 -2770,8333 *(1,8)3 +4031,2498 *(1,8)2 -2880,21624*1,8+808,199944≈5,1
N(2)=-125 *(2)5 +937,5 *(2)4 -2770,8333 *(2)3 +4031,2498 *(2)2 -2880,21624*2+808,199944≈6,1
Полученные значения функции совпадают с табличными значениями. Многочлен Ньютона вычислен верно.
Формула в Excel для проверки найденного многочлена Ньютона:
=B1+C2*(A111-A1)+D3*(A11-A1)*(A11-A3)+E4*(A11-A1)*(A11-A3)*(A11-A5)+F5*(A11-A1)*(A11-A3)*(A11-A5)*(A11-A7)+G6*(A11-A1)*(A11-A3)*(A11-A5)*(A11-A7)*(A11-A9)
В ячейку А11 подставляем значение Х, для которого надо узнать значение многочлена.
Таблица результатов в Excel для табличных значения Х:
1 |
0,9 |
1,2 |
1,9 |
1,4 |
3,2 |
1,6 |
3,8 |
1,8 |
5,1 |
2 |
6,1 |
Всё вычислено верно.
Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов.
Задача: методом наименьших квадратов получить аппроксимирующую функцию и построить график.
Таблица зависимости значений функции от аргумента
X |
1 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
Y |
0,9 |
1,9 |
3,2 |
3,8 |
5,1 |
6,1 |
Ручной счет:
Будем получать функцию вида
Находя частные производные, получим систему уравнений:
Найдем коэффициенты:
|
x |
x^2 |
x^3 |
x^4 |
|
|
y |
y*x |
y*x^ |
||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0,9 |
0,9 |
0,9 |
1,2 |
1,44 |
1,728 |
2,0736 |
|
1,9 |
2,28 |
2,736 |
1,4 |
1,96 |
2,744 |
3,8416 |
|
3,2 |
4,48 |
6,272 |
1,6 |
2,56 |
4,096 |
6,5536 |
|
3,8 |
6,08 |
9,728 |
1,8 |
3,24 |
5,832 |
10,4976 |
|
5,1 |
9,18 |
16,524 |
2 |
4 |
8 |
16 |
|
6,1 |
12,2 |
24,4 |
9 |
14,2 |
23,4 |
39,9664 |
|
21 |
35,12 |
60,56 |
Сумма:
6a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =21
9 a 0+14,2 a 1 +23,4 a 2 =35,12
14,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =60,56
6a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =21 (*9)
9 a 0+14,2 a 1 +23,4 a 2 =35,12 (*6)
14,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =60,56
6 a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =21 ( *14,2)
-4,2 a 1 +12,6 a 2 =-21,72
14,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =60,56 (*6)
6 a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =21
-4,2 a 1 -12,6 a 2 =-21,72
-12,6 a 1 -38,1584 a 2 =-65, 16
В результате получаем :
6 a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =21
-4,2 a 1 -12,6 a 2 =-21,72
0б3584 a 2 =0
a 2 =0
a 1 =5,17
a 0 =-4,257
Коэффициенты вычислены, подставим их в уравнение:
Построим график полученной функции в Excel:
Подставляя в полученную функцию табличные значение x, посмотрим на отклонения значений функции от табличных:
X |
Y табл |
Yвыч |
|Yвыч-Yтабл| |
1 |
0,9 |
0,9133 |
0,013 |
1,2 |
1,9 |
1,947 |
0,047 |
1,4 |
3,2 |
2,981 |
0,219 |
1,6 |
3,8 |
4,015 |
0,215 |
1,8 |
5,1 |
5,049 |
0,051 |
2 |
6,1 |
6,083 |
0,017 |
ϐ=√(0,013 2/5)+ (0,047) 2/5+(0,219) 2/5++(0,215)2/5+(0,051) 2/5+(0,017) 2/5
=0,141035
Угол отклонение :
