- •Глава 7 символьные вычисления
- •7.1 Символьные переменные, константы и выражения
- •7.2 Вычисления с использованием арифметики произвольной точности
- •7.3 Функции упрощения выражений – simplify, simple
- •7.4 Функция расширения выражений – expand
- •7.5 Разложение выражений на простые множители – функция factor
- •7.6 Приведение подобных членов – функция collect
- •7.7 Обеспечение подстановок – функция subs
- •7.8 Функция вычисления пределов – limit
- •7.9 Функция вычисления производных – diff
- •7.10 Функция вычисления интегралов – int
- •7.11 Функция разложения выражения в ряд Тейлора – taylor
- •7.12 Функция вычисления сумм рядов – symsum
- •7.13 Решение алгебраических уравнений и систем– функция solve
- •7.14 Решение дифференциальных уравнений – функция dsolve
- •7.15 Прямое и обратное преобразования Лапласа – функции laplace, ilaplace
- •7.16 Графики символьных функций – команды ezplot, ezpolar
- •7.17 Доступ к ресурсам ядра системы Maple
- •1) Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей
- •2) Нахождение интерполяционного полинома Лагранжа
- •3) Решение неравенств и систем неравенств
- •4) Разложение в ряд Тейлора функции нескольких переменных
- •5) Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •6) Решение тригонометрических уравнений
7.2 Вычисления с использованием арифметики произвольной точности
MATLAB обычно ведет вычисления с числами, представленными в формате плавающей точки с двойной точностью. Это довольно высокая точность, обеспечивающая потребности практических вычислений в прикладных задачах. Однако, ряд задач теории чисел, численного кодирования и некоторых других требует выполнения вычислений вообще без какой – либо погрешности или со сколь угодно малой погрешностью. Такие вычисления не очень удачно называют арифметикой произвольной точности – правильнее говорить о точной арифметике.
Для проведения вычислений в арифметике произвольной точности служит функция vpa:
R=vpa(S) – возвращает результат вычислений каждого элемента символьного массива S , используя арифметику произвольной точности с текущим числом цифр D , установленным функцией digits. Результат R имеет тип sym;
R=vpa(S,D) - возвращает результат вычислений каждого элемента массива S с текущим числом цифр D.
Примеры:
>>vpa(exp(1),50)
ans =
2.7182818284590455348848081484902650117874145507813
>>vpa([2*pi,exp(1),log(2)],10)
ans =
[ 6.283185308, 2.718281828, .6931471806]
Функция digits служит для установки числа цифр в числах арифметики произвольной точности. Она используется в одном из следующих вариантов:
digits – возвращает число значащих цифр в числах арифметики произвольной точности (по умолчанию 32);
digits(D) – устанавливает заданное число цифр D для арифметики произвольной точности.
Примеры вычисления числа π с 32 и 6 значащими цифрами:
>>digits
Digits = 32
>>vpa pi
ans =
3.1415926535897932384626433832795
>> digits 6
>> vpa pi
ans =
3.14159
7.3 Функции упрощения выражений – simplify, simple
Функция simplify(S) поэлементно упрощает символьные выражения массива S. Если упрощение невозможно, то возвращается исходное выражение. Примеры:
>>syms a b x
>>V=[sin(x)^2+cos(x)^2, log(a*b)]
V =
[ sin(x)^2+cos(x)^2, log(a*b)]
>>simplify(V)
ans =
[ 1, log(a*b)]
>>simplify((a^2-2*a*b+b^2)/(a-b))
ans =
a-b
Возможности проведения упрощений с помощью команды simplify в Symbolic не обладают возможностями системы Maple в полной мере в связи с отсутствием опций, определяющих путь упрощения. Дополнительные возможности упрощения обеспечивает функция simple.
Функция simple(S) выполняет различные упрощения символьных выражений массива S и выводит как промежуточные результаты, так и самый короткий результат. В другой форме – [R,HOW] = simple(S) – промежуточные результаты не выводятся. Результаты упрощений содержатся в векторе R , а в строковом векторе HOW указывается выполняемое преобразование. Следующие примеры иллюстрируют работу функции:
S R HOW
cos(x)^2+sin(x)^2 1 combine
2*cos(x)^2-sin(x)^2 3*cos(x)^2-1 simplify
cos(x)^2-sin(x)^2 cos(2*x) combine
[R,HOW]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
R =
cos(2*x)
HOW =
combine
7.4 Функция расширения выражений – expand
Функция expand(S) расширяет символьные выражения массива S. Рациональные выражения она раскладывает на простые дроби, полиномы – на полиномиальные выражения и т.д. Функция работает со многими алгебраическими и тригонометрическими функциями. Примеры:
>>syms a b x;
>>S=[(x+2)*(x+3)*(x-4),sin(2*x)];
>>expand(S)
ans =
[ x^3+x^2-14*x-24, 2*sin(x)*cos(x)]
>>expand(sin(a+b))
ans =
sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)
>>expand((a+b)^3)
ans =
a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3