8. Почти антагонистические игры.

Отдельные классы биматричных игр (и в том числе 2 X 2-игр) поддаются более простому и содержательному анализу, чем те общие рас­смотрения, которые были изложены в предыдущей части.

Одним из таких классов являются антагонистические игры. Более общий класс составляют почти антагонистические игры.

Определение: Будем называть почти антагонистической игрой биматричную игру с матрицами выигрыша А и В, для которых из а_ij < а_kl или а_ij = а_кl следует соответственно b_ij > b_kl или b_ij = b_kl.

В почти антагонистическую игру превращается всякая матричная игра, если в ней начать оценивать выигрыш игроков по различным (но монотон­ным!) шкалам полезности. В положении игрока 1 в почти антагонистичес­кой игре оказывается, например, сторона, стремящаяся нанести ущерб противнику и правильно сравнивающая его ущерб в различных ситуациях, но дающая размеру этого ущерба, вообще говоря, неверную количествен­ную оценку.

Проведем анализ почти антагонистической 2 X 2-игры.

Не нарушая общности (т.е. переходя, если нужно, к аффинно-эквива­лентным играм¹⁹ и отвлекаясь от некоторых случаев вырождения), мы можем считать, что матрицы выигрышей в рассматриваемой игре суть

Если а₂₂< a₂₁, то по условию почти антагонистичности должно быть b₂₂ > b₂₁, и вторая чистая стратегия игрока 2 доминирует его первую чис­тую стратегию. Значит, все приемлемые для него ситуации имеют вид (ξ, 0). Отсюда следует, что ситуациями равновесия в игре будут либо (1, 0) ,либо (0, 0) , либо все ситуации вида (ξ, 0), смотря по тому, будет ли а₂₂ > 0, а₂₂ < 0 или, наконец, а₂₂ =0.

Пусть теперь а₂₂≥a₂₁ так что по почти антагонистичности b₂₂ ≤b₂₁. Тогда для характеристик игры ξ * и η* мы имеем

8.1. «Борьба за рынки»

В качестве примера почти антагонистической игры приведем следую­щий вариант борьбы за рынки.

Небольшая фирма (игрок 1) намерена сбыть крупную партию товара на одном из рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок 2). Для этого она может предпринять на одном из рынков соответ­ствующие действия (например, развернуть рекламную кампанию) . Господ­ствующий на рынках игрок 2 может попытаться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупредительные меры. Игрок 1, не встре­тивший на рынке препятствий, захватывает его; встретившись же с сопро­тивлением — терпит поражение. Выборы фирмами рынков являются их стратегиями.

Предположим, что проникновение игрока 1 на первый рынок более выгодно для него, чем проникновение на второй, но борьба за первый

рынок требует больших средств. Например, победа игрока 1 на первом рынке принесет ему вдвое больший выигрыш, чем на втором, но зато пора­жение на первом рынке полностью его разоряет (проигрыш равен 10), а игрока 2 избавляет от конкурента (выигрыш равен 5) .

Таким образом, у фирмы 1 две стратегии:

1₁ — выбор первого рынка, 1₂ — выбор второго рынка.

Такие же стратегии и у фирмы 2

2₁ — выбор первого рынка, 2₂ — выбор второго рынка.

Для того чтобы составить платежные матрицы игроков, нужны расчетные количественные показатели, которые мы приведем здесь в условных денежных единицах:

Взглянем на выписанные матрицы выплат. Из сказанного выше яс­но, что если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа останет­ся за более сильной фирмой 2.

То, что в ситуации (1₁, 2₁) выигрыш игрока 2 равен 5, а в ситуации (1₂, 1₂) — 1, подчеркивает, что первый рынок более выгоден (удобно расположен, хорошо посещаем и т. п.), чем второй. Выигрыш (-10) иг­рока 1 в ситуации (1₁, 2₁) (а точнее, проигрыш) в сопоставлении с его выигрышем (-1) в ситуации (1₂, 2₂) выглядит, разумеется, вполне со­крушительно. Что же касается ситуации, когда фирмы уделяют основ­ное внимание разным рынкам (1_1, 2₂) и (1₂, 2₁), то здесь фирму 1 ждет настоящий выигрыш, больший на более выгодном рынке. Потери, которые при этом несет фирма 2, оказываются прямо противоположными.

Замечание: Ясно, что точно рассчитать выгоду и ущерб сторон в этом конфликте заранее довольно трудно. Зато в следующей конфликтной ситуации размеры выигрышей игроков известны им со всей определен­ностью.)

Теперь решим эту задачу алгебраическим способом.

Для этой игры, как легко видеть, С = - 14, α = - 3, η* = 3/14. Значит, ситуациями, приемлемыми для игрока 1, будут все ситуации вида

(0,η), где 3/14≤η≤1,

(ξ,3/14), где 0≤ ξ ≤1,

(1,η), где 0 ≤η≤3/14.

Множество всех приемлемых для игрока 1 ситуаций изображено на рис 8.

Рисунок 8.

Далее мы имеем: D = 9,β = 2,ξ* = 2/9, так что приемлемыми для игрока 2 будут все ситуации вида

(ξ,0), где 0≤ξ<2/9,

(2/9,η), где η произвольно,

(ξ, 1), где 2/9≤ξ≤1.

Их множество изображено на рис. 5 пунктиром.

Зигзаги приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке (2/9, 3/14), которая и оказывается единственной ситуацией равновесия.